求满足 $1\leqslant m^{n}-n^{m}\leqslant mn$ 的所有正整数对 $(m,n)$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$\{(m,1),(2,5),(3,2)\mid m\geqslant 2\}$
【解析】
首先证明两个引理．
引理1：$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 在 $(0,{\rm e}]$ 上单调，在 $[{\rm e},+\infty)$ 上单调递减．
证明：$f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$ 在 $(0,{\rm e}]$ 上大于 $0$，在 $({\rm e},+\infty)$ 上小于 $0$．
引理2：当 $x>0$ 时，$$\ln (1+x)<x.$$特别地，设 $x=\dfrac{1}{n}$，则$$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}<{\rm e}.$$证明：设 $f(x)=x-\ln (1+x)$．
当 $x>0$ 时，\[f'(x)=\dfrac{x}{1+x}>0,\]故 $f(x)$ 单调增．
再由 $f(0)=0$，得 $x>\ln (1+x)$．
回到原问题，$m^{n}>n^{m}$ 即为$$\dfrac{\ln m}{m}>\dfrac{\ln n}{n},$$根据引理1，有以下几种情形．
情形一 $n=1,m\geqslant 2$．
$(m,n)$ 均满足题设．
情形二 $m=2,n\geqslant 5$．
设\[g(x)=2^{x}-x^{2}-2x,x\geqslant 5,\]则\[g'(x)=2^{x}\ln 2-2x-2>0.\]由$$g(5)=-3 , g(6)=16,$$可得满足题设的 $(m,n)$ 只有 $(2,5)$．
情形三 $m=3$，$n=2$．
易验证 $(3,2)$ 满足题设．
情形四 $m\geqslant 3,n\geqslant m+1$．
设 $g(x)=m^{x}-x^{m}-mx$．
当 $x\geqslant m+1$ 时，\[g'(x)=m^{x}\ln m-mx^{m-1}-m>x^{m}-mx^{m-1}-m\geqslant x^{m-1}-m>0,\]$g(x)$ 单调递增．
因此\[\begin{split}g(n)&\geqslant h(m)\\&=m^{m+1}-(m+1)^{m}-m(m+1)\\&=m^{m}\left[m-\left(1+\dfrac{1}{m}\right)^{m}\right]-m(m+1),\end{split}\]当 $m=3$ 时，$h(m)=5$．
当 $m\geqslant 4$ 时，根据引理2，\[h(m)>m^{m}-m(m+1)>0,\]无 $(m,n)$ 满足题设．
综上，所有满足题设的正整数对为 $\{(m,1),(2,5),(3,2)\mid m\geqslant 2\}$
引理1：$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 在 $(0,{\rm e}]$ 上单调，在 $[{\rm e},+\infty)$ 上单调递减．
证明：$f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$ 在 $(0,{\rm e}]$ 上大于 $0$，在 $({\rm e},+\infty)$ 上小于 $0$．
引理2：当 $x>0$ 时，$$\ln (1+x)<x.$$特别地，设 $x=\dfrac{1}{n}$，则$$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}<{\rm e}.$$证明：设 $f(x)=x-\ln (1+x)$．
当 $x>0$ 时，\[f'(x)=\dfrac{x}{1+x}>0,\]故 $f(x)$ 单调增．
再由 $f(0)=0$，得 $x>\ln (1+x)$．
回到原问题，$m^{n}>n^{m}$ 即为$$\dfrac{\ln m}{m}>\dfrac{\ln n}{n},$$根据引理1，有以下几种情形．
$(m,n)$ 均满足题设．
设\[g(x)=2^{x}-x^{2}-2x,x\geqslant 5,\]则\[g'(x)=2^{x}\ln 2-2x-2>0.\]由$$g(5)=-3 , g(6)=16,$$可得满足题设的 $(m,n)$ 只有 $(2,5)$．
易验证 $(3,2)$ 满足题设．
设 $g(x)=m^{x}-x^{m}-mx$．
当 $x\geqslant m+1$ 时，\[g'(x)=m^{x}\ln m-mx^{m-1}-m>x^{m}-mx^{m-1}-m\geqslant x^{m-1}-m>0,\]$g(x)$ 单调递增．
因此\[\begin{split}g(n)&\geqslant h(m)\\&=m^{m+1}-(m+1)^{m}-m(m+1)\\&=m^{m}\left[m-\left(1+\dfrac{1}{m}\right)^{m}\right]-m(m+1),\end{split}\]当 $m=3$ 时，$h(m)=5$．
当 $m\geqslant 4$ 时，根据引理2，\[h(m)>m^{m}-m(m+1)>0,\]无 $(m,n)$ 满足题设．
综上，所有满足题设的正整数对为 $\{(m,1),(2,5),(3,2)\mid m\geqslant 2\}$
答案
解析
备注
