设 $a$，$b$，$c$，$d$ 都是整数，$p=a^2+b^2$ 是素数．如果 $p|c^2+d^2$，证明：$\dfrac {c^2+d^2}{p}$ 可以表示为两个整数的平方和．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛江苏省复赛（一试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $p|c^2+d^2$，所以$$c^2+d^2=pm,$$其中 $m$ 为整数，于是\[\begin{split}m&=\dfrac {c^2+d^2}{p}\\ &=\dfrac {(c^2+d^2)(a^2+b^2)}{p^2}\\&=\dfrac {(c+d\mathrm i)(c-d\mathrm i)(a+b\mathrm i)(a-b\mathrm i)}{p^2}.\end{split}\]一方面，$$m=\dfrac {(ca-db)^2+(da+cb)^2}{p^2},\quad\cdots\cdots \text{ ① }$$另一方面，$$m=\dfrac {(ca+db)^2+(da-cb)^2}{p^2},\quad\cdots\cdots \text{ ② }$$注意到\[\begin{split}(ca+db)(ca-db)&=c^2a^2-d^2b^2\\ &=(pm-d^2)a^2-d^2b^2\\&=pma^2-d^2(a^2+b^2)\\ &=p(ma^2-d^2),\end{split}\]因为 $p$ 是素数，所以 $ca+db$ 和 $ca-db$ 中至少有一个数能被 $p$ 整除．
当 $ca-db$ 能被 $p$ 整除时，令$$ca-db=pt,$$其中 $t$ 是整数．根据 ①，因为 $m$ 是整数，所以 $da+cb$ 也被 $p$ 整除．
令$$da+cb=ps,$$其中 $s$ 是整数，则$$\dfrac {c^2+d^2}{p}=m=t^2+s^2.$$当 $ca+db$ 能被 $p$ 整除时，同理可证 $\dfrac {c^2+d^2}{p}$ 也可以表示为两个整数的平方和．
综上知，$\dfrac {c^2+d^2}{p}$ 总可以表示为两个整数的平方和．
当 $ca-db$ 能被 $p$ 整除时，令$$ca-db=pt,$$其中 $t$ 是整数．根据 ①，因为 $m$ 是整数，所以 $da+cb$ 也被 $p$ 整除．
令$$da+cb=ps,$$其中 $s$ 是整数，则$$\dfrac {c^2+d^2}{p}=m=t^2+s^2.$$当 $ca+db$ 能被 $p$ 整除时，同理可证 $\dfrac {c^2+d^2}{p}$ 也可以表示为两个整数的平方和．
综上知，$\dfrac {c^2+d^2}{p}$ 总可以表示为两个整数的平方和．
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