题目 已知函数 $f(x)=\ln x-ax$，其中 $a>0$，$g(x)=f(x)+f'(x)$． 问题1 若当 $1\leqslant x\leqslant\mathrm{e}$ 时，函数 $f(x)$ 的最大值为 $-4$，求函数 $f(x)$ 的表达式； 答案1 $f(x)=\ln x-4x$ 解析1 因为$$f'(x)=\dfrac1x-a,$$所以 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac1a\right)$ 单调递增，在 $\left(\dfrac1a,+\infty\right)$ 上单调递减．因此当 $x=\dfrac1a$ 时，$f(x)$ 取最大值．<br/><case>情形一</case> 当 $0<\dfrac1a<1$，即 $a>1$ 时，$$f(x)_{\max}=f(1)=-4,$$解得 $a=4$，符合题意．<br/><case>情形二</case> 当 $1\leqslant\dfrac1a\leqslant\mathrm{e}$，即 $\dfrac{1}{\mathrm{e}}\leqslant a\leqslant1$ 时，$$f(x)_{\max}=f\left(\dfrac1a\right)=-4,$$解得 $a=\mathrm{e}^3>1$，舍去．<br/><case>情形三</case> 当 $\dfrac1a>\mathrm{e}$，即 $0<a<\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$$f(x)_{\max}=f(\mathrm{e})=-4,$$解得 $a=\dfrac{5}{\mathrm{e}}>\dfrac{1}{\mathrm{e}}$，舍去．<br/>综上，$f(x)=\ln x-4x$． 备注1 问题2 求 $a$ 的取值范围，使函数 $g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上是单调函数． 答案2 $\left[\dfrac14,+\infty\right)$ 解析2 由题 $g(x)=\ln x-ax+\dfrac1x-a$，求导得$$g'(x)=\dfrac1x-a-\dfrac{1}{x^2}=-\left(\dfrac1x-\dfrac12\right)^2+\dfrac14-a,$$<case>情形一</case> 当 $a\geqslant\dfrac14$ 时，$g'(x)\leqslant0$，且只有 $x=2$ 时，$g'(x)=0$，所以 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减；<br/><case>情形二</case> 当 $0<a<\dfrac14$ 时，在 $\dfrac1x\in\left(0,\dfrac12-\sqrt{\dfrac14-a}\right)$ 时，$g'(x)<0$；<br/>在 $\dfrac1x\in\left(\dfrac12-\sqrt{\dfrac14-a},\dfrac12+\sqrt{\dfrac14-a}\right)$ 时，$g'(x)>0$；<br/>在 $\dfrac1x\in\left(\dfrac12+\sqrt{\dfrac14-a},+\infty\right)$ 时，$g'(x)<0$．<br/>因此 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上不单调．<br/>综上，$a$ 的取值范围为 $\left[\dfrac14,+\infty\right)$． 备注2