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在 $1\sim 100$ 的 $100$ 个整数中，任意选取个互不相同的数组成有序三元数 $(x,y,z)$．求满足方程 $x+y=3z+10$ 的 $(x,y,z)$ 的个数．
【难度】
【出处】
2014年浙江省高中数学竞赛
【标注】
  • 数学竞赛
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    计数与概率
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    计数与概率
【答案】
$3194$
【解析】
情形一当 $3z+10 \leqslant 101$，即 $z \leqslant 30$ 时，满足 $x+y=3z+10$ 的 $(x,y,z) $ 个数是$$S=\sum \limits_{k=1}^{30}(3k+9)=1665.$$情形二 当 $3z+10 \geqslant 102$，即 $ 31 \leqslant z \leqslant 63$ 时，满足 $x+y=3z+10$ 的 $(x,y,z)$ 个数是$$T=\sum \limits_{k=31}^{63}(191-3k)=\sum \limits_{k=1}^{33}[191-3( k+30)]=1650.$$再来考虑 $x$，$y$，$z$ 有相等的情况：首先 $x$，$y$，$z$ 不可能都相等．
情形一 当 $x=y$ 时，满足 $x+y=3z+10$ 的 $(x,y,z)$ 的个数是 $A=31$；
情形二当 $x=z$ 时，满足 $x+y=3z+10$ 的 $(x,y,z)$ 的个数是 $B=45$；
情形三 当 $y=z$ 时，满足 $x+y=3z+10$ 的 $(x,y,z)$ 的个数是 $C=45$．
综上所述，题目所求的 $(x,y,z)$ 个数是$$S+T-A-B-C=3194.$$
答案 解析 备注
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