抛物线的顶点为 $O$，焦点为 $F$，当动点 $P$ 在抛物线上移动时，试求距离比 $\left|\dfrac{PO}{PF}\right|$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{2\sqrt3}{3}$
【解析】
在直角坐标系中，设抛物线方程为 $y^2=4ax,a>0$，则顶点为 $O(0,0)$，焦点为 $F(a,0)$．
若抛物线上的动点坐标为 $P(x,y)$，则$$\left(\dfrac{PO}{PF}\right)^2=\dfrac{x^2+y^2}{(x-a)^2+y^2}=\dfrac{x^2+4ax}{x^2+2ax+a^2}\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$令 $t=\dfrac{x^2+4ax}{x^2+2ax+a^2}$，得$$(t-1)x^2+2a(t-2)x+ta^2=0,$$若 $t$ 使方程有实数解 $x$，则其判别式$$\Delta=4a^2(t-2)^2-4a^2t(t-1)\geqslant0,$$即$$4-3t\geqslant0,$$所以 $t\leqslant\dfrac43$．
当 $t=\dfrac 43$ 时，由$$\dfrac{x^2+4ax}{x^2+2ax+a^2}=\dfrac43,$$解得 $x=2a$，则 $y=2\sqrt2a$，此时 $P(2a,2\sqrt2a)$，等号可以取到．
所以 $\left(\dfrac{PO}{PF}\right)^2=t\leqslant\dfrac43$，即 $\left|\dfrac{PO}{PF}\right|\leqslant\dfrac{2\sqrt3}{3}$．
若抛物线上的动点坐标为 $P(x,y)$，则$$\left(\dfrac{PO}{PF}\right)^2=\dfrac{x^2+y^2}{(x-a)^2+y^2}=\dfrac{x^2+4ax}{x^2+2ax+a^2}\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$令 $t=\dfrac{x^2+4ax}{x^2+2ax+a^2}$，得$$(t-1)x^2+2a(t-2)x+ta^2=0,$$若 $t$ 使方程有实数解 $x$，则其判别式$$\Delta=4a^2(t-2)^2-4a^2t(t-1)\geqslant0,$$即$$4-3t\geqslant0,$$所以 $t\leqslant\dfrac43$．
当 $t=\dfrac 43$ 时，由$$\dfrac{x^2+4ax}{x^2+2ax+a^2}=\dfrac43,$$解得 $x=2a$，则 $y=2\sqrt2a$，此时 $P(2a,2\sqrt2a)$，等号可以取到．
所以 $\left(\dfrac{PO}{PF}\right)^2=t\leqslant\dfrac43$，即 $\left|\dfrac{PO}{PF}\right|\leqslant\dfrac{2\sqrt3}{3}$．
答案
解析
备注
