求证：在区间 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 内存在唯一的数组 $(c,d), c<d$，使得 $\sin (\cos c)=c$，$\cos (\sin d)=d$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛内蒙古自治区预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
构造函数 $f(x)=\cos(\sin x)-x$，则 $f(x)$ 在 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 单调递减．
又因为\[f(0)=\cos(\sin 0)-0=1>0, f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\sin \dfrac{\pi}{2}\right)-\dfrac{\pi}{2}<0,\]所以存在唯一的 $d\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，使 $f(d)=0$，即\[\cos(\sin d)=d, c=\sin d<d, \cos c=d.\]两边同时取正弦，有\[\sin (\cos c)=\sin d=c.\]关于 $c$ 的唯一性，建立\[g(x)=\sin (\cos x)-x,\]同理可得．
又因为\[f(0)=\cos(\sin 0)-0=1>0, f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\sin \dfrac{\pi}{2}\right)-\dfrac{\pi}{2}<0,\]所以存在唯一的 $d\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，使 $f(d)=0$，即\[\cos(\sin d)=d, c=\sin d<d, \cos c=d.\]两边同时取正弦，有\[\sin (\cos c)=\sin d=c.\]关于 $c$ 的唯一性，建立\[g(x)=\sin (\cos x)-x,\]同理可得．
答案
解析
备注
