某校数学兴趣小组由 $m$ 位同学组成，学校专门安排 $n$ 位老师作为指导教师．在该小组的一次活动中，每两位同学之间互相为对方提出一个问题，每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了 $51$ 个问题，试求 $m,n$ 的值．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$m=6,n=3$
【解析】
由题意，有$$m(m-1)+mn+m=51,$$化简得$$m^2+(n-1)m+n-51=0,$$故$$\Delta=(n-1)^2-4(n-51)=(n-3)^2+196.$$因为 $m\in\mathbb N^*$，所以 $\Delta$ 必为完全平方数．
设 $(n-3)^2+196=k^2$（$k$ 为正整数），则$$(n-3+k)(n-3-k)=-196,$$其中 $n-3+k$ 与 $n-3-k$ 具有相同的奇偶性，且$$n-3+k\geqslant n-3-k,$$所以$$\begin{cases}n-3+k=2,\\n-3-k=-98,\end{cases}\lor\begin{cases}n-3+k=98,\\n-3-k=-2,\end{cases}\lor\begin{cases}n-3+k=14,\\n-3-k=-14,\end{cases}$$分别求解并检验，得 $m=6,n=3$．
设 $(n-3)^2+196=k^2$（$k$ 为正整数），则$$(n-3+k)(n-3-k)=-196,$$其中 $n-3+k$ 与 $n-3-k$ 具有相同的奇偶性，且$$n-3+k\geqslant n-3-k,$$所以$$\begin{cases}n-3+k=2,\\n-3-k=-98,\end{cases}\lor\begin{cases}n-3+k=98,\\n-3-k=-2,\end{cases}\lor\begin{cases}n-3+k=14,\\n-3-k=-14,\end{cases}$$分别求解并检验，得 $m=6,n=3$．
答案
解析
备注
