题目 设 $f(x)=\dfrac{a}{x}+x\ln x$，$g(x)=x^3-x^2-3$． 问题1 当 $a=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程； 答案1 $x+y-3=0$ 解析1 当 $a=2$ 时，$$f(x)=\dfrac2x+x\ln x,$$求导得$$f'(x)=-\dfrac{2}{x^2}+\ln x+1,$$因此 $f(1)=2,f'(1)=-1$，故切线方程为$$y-2=-(x-1).$$因此曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $x+y-3=0$． 备注1 问题2 如果存在 $x_1,x_2\in[0,2]$ 使得 $g(x_1)-g(x_2)\geqslant M$ 成立，求满足上述条件的最大整数 $M$； 答案2 $4$ 解析2 题意等价于$$[g(x_1)-g(x_2)]_{\max}\geqslant M,$$即$$g(x)_{\max}-g(x)_{\min}\geqslant M.$$对原函数求导得$$g'(x)=3x^2-2x=x(3x-2),$$因此 $x,g'(x),g(x)$ 的变化关系如下表：$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\left(0,\dfrac23\right)&\dfrac23&\left(\dfrac23,2\right)&2\\ \hline g'(x)&&-&0&+&\\ \hline g(x)&-3&\searrow&-\dfrac{85}{27}&\nearrow&1\\ \hline\end{array}$$由上表可知$$g(x)_{\min}=g\left(\dfrac23\right)=-\dfrac{85}{27} , g(x)_{\max}=g(2)=1,$$因此$$g(x)_{\max}-g(x)_{\min}=\dfrac{112}{27}>4,$$所以满足条件的最大整数 $M=4$． 备注2 问题3 如果对任意的 $s,t\in\left[\dfrac12,2\right]$ 都有 $f(s)\geqslant g(t)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围． 答案3 $[1,+\infty)$ 解析3 题意等价于“在区间 $\left[\dfrac12,2\right]$ 上，函数 $f(x)$ 的最小值不小于 $g(x)$ 的最大值”．<br/>由 $(2)$ 知，在区间 $\left[\dfrac12,2\right]$ 上，$g(x)$ 的最大值为 $g(2)=1$，所以 $f(x)_{\min}\geqslant1$．又因为 $f(1)=a$，所以 $a\geqslant1$．<br/>下面证明当 $a\geqslant1$ 时，$f(x)\geqslant1$ 在区间 $\left[\dfrac12,2\right]$ 上成立．<br/>当 $a\geqslant1$ 且 $x\in\left[\dfrac12,2\right]$ 时，$$f(x)=\dfrac{a}{x}+x\ln x\geqslant\dfrac1x+x\ln x.$$记 $h(x)=\dfrac1x+x\ln x$，求导得$$h'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\ln x+1.$$容易知道 $h'(x)$ 在 $\left[\dfrac12,2\right]$ 上单调递增，且 $h'(1)=0$，因此 $h(x)$ 在 $\left[\dfrac12,1\right)$ 上递减，在 $(1,2]$ 上递增，故$$h(x)_{\min}=h(1)=1,$$即 $h(x)\geqslant1$．<br/>因此，当 $a\geqslant1$ 且 $x\in\left[\dfrac12,2\right]$ 时，$f(x)\geqslant1$ 成立，即对任意 $s,t\in\left[\dfrac12,2\right]$ 都有 $f(s)\geqslant g(t)$． 备注3