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解关于 $x$ 的方程 $\left(\cos^2\dfrac{\theta}{2}\right)x^3+\left(3\cos^2\dfrac{\theta}{2}-4\right)x+\sin\theta=0$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛江苏省复赛（一试）
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    三角
    >
    三角计算
【答案】
$\theta=2k\pi+\pi(k\in\mathbb Z)$ 时，$x=0$；$\theta\ne2k\pi+\pi(k\in\mathbb Z)$ 时，$x=2\tan\dfrac{\theta}{2}$ 或 $x=-\tan\dfrac{\theta}{2}\pm\sec\dfrac{\theta}{2}$
【解析】
情形一 若 $\cos\dfrac{\theta}{2}=0$，则 $\sin\theta=0$，故 $x=0$．
情形二 若 $\sin\dfrac{\theta}{2}=0$，则$$\cos^2\dfrac{\theta}{2}=1 , \sin\theta=0,$$从而 $x=0$ 或 $x=\pm1$．
情形三 若 $\cos\dfrac{\theta}{2}\ne0$，且 $\sin\dfrac{\theta}{2}\ne0$，则原方程化为$$x^3+\left(3-4\sec^2\dfrac{\theta}{2}\right)x+2\tan\dfrac{\theta}{2}=0,$$即$$x^3-\left(4\tan^2\dfrac{\theta}{2}+1\right)x+2\tan\dfrac{\theta}{2}=0,$$所以$$4x\tan^2\dfrac{\theta}{2}-2\tan\dfrac{\theta}{2}+x-x^3=0.$$因为 $\sin\dfrac{\theta}{2}\ne0$，所以 $\tan\dfrac{\theta}{2}\ne0$，从而 $x\ne0$．
因此$$4x\tan^2\dfrac{\theta}{2}-2\tan\dfrac{\theta}{2}+x-x^3=0$$是关于 $\tan\dfrac{\theta}{2}$ 的二次方程，解得$$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{x}{2}\text{ 或 }\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-x^2}{2x},$$再解这两个关于 $x$ 的方程得 $x=2\tan\dfrac{\theta}{2}$，或 $x=-\tan\dfrac{\theta}{2}\pm\sec\dfrac{\theta}{2}$．
综上所述，原方程的解是
当 $\cos\dfrac{\theta}{2}=0$，即 $\theta=2k\pi+\pi(k\in\mathbb Z)$ 时，$x=0$；
当 $\cos\dfrac{\theta}{2}\ne0$，即 $\theta\ne2k\pi+\pi(k\in\mathbb Z)$ 时，$x=2\tan\dfrac{\theta}{2}$ 或 $x=-\tan\dfrac{\theta}{2}\pm\sec\dfrac{\theta}{2}$．
答案 解析 备注
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