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  韦达暴算

$4$

由条件知 $F(1,0)$．
设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，$D(x_4,y_4)$，不妨设 $y_1>0$．
直线 $AB$ 的方程为$$y=k_1(x-1),$$与 $y^2=4x$ 联立得$$y^2-\dfrac {4}{k_1}y-4=0,$$所以$$y_1y_2=-4,\quad x_1x_2=1.$$情形一 当 $x_1=4$ 时，点 $A(4,4)$，故$$y_2=\dfrac {-4}{y_1}=-1 , x_2=\dfrac 14,$$从而 $B\left(\dfrac 14,-1\right)$．
直线 $AM$ 的方程为 $x=4$，从而 $C(4,-4)$．
直线 $BM$ 的方程为$$y=\dfrac {4}{15}(x-4),$$与 $y^2=4x$ 联立得$$y^2-15y-16=0,$$于是$$y_4=16 , x_4=64,$$即 $D(64,16)$．
因此$$k_1=\dfrac 43,\quad k_2=\dfrac {16-(-4)}{64-4}=\dfrac 13,$$故 $\dfrac {k_1}{k_2}= 4$．
情形二 当 $x_1\neq 4$ 时，直线 $AM$ 方程为$$y=\dfrac {y_1}{x_1-4}(x-4),$$与抛物线方程 $y^2=4x$ 联立得$$y_1^2(x-4)^2=4x(x_1-4)^2.$$又由 $y_1^2=4x_1$，化简上述方程得$$x_1x^2-(x_1^2+16)x+16x_1=0,$$此方程有一根为 $x_1$，所以另一根 $x_3=\dfrac {16}{x_1}$，故 $y_3=\dfrac {-16}{y_1}$，即 $C\left(\dfrac {16}{x_1},\dfrac {-16}{y_1}\right)$．
同理，$D\left(\dfrac {16}{x_2},\dfrac {-16}{y_2}\right)$，所以\[\begin{split} k_2&= \dfrac {\dfrac {-16}{y_2}+\dfrac { 16}{y_1}}{\dfrac { 16}{x_2}-\dfrac { 16}{x_1}}\\&=-\dfrac {x_1x_2}{y_1y_2}\cdot \dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}\\&=\dfrac 14k_1 ,\end{split}\]于是 $\dfrac {k_1}{k_2}= 4$．
综上知，$\dfrac {k_1}{k_2}= 4$．

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$\left(0,\arctan \dfrac{3}{4}\right]$

因为$$\tan \theta=\left|\dfrac {k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|=\left|\dfrac {3k_1}{4+k_1^2}\right|\leqslant \dfrac 34,$$所以$$\theta \leqslant \arctan \dfrac 34,$$故直线 $AB$ 与直线 $CD$ 夹角 $\theta$ 的取值范围是 $\left(0,\arctan \dfrac{3}{4}\right]$．