已知函数 $f(x)=x^3-mx^2-x+1$ 其中 $m$ 为实数．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
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求函数 $f(x)$ 的单调区间；标注答案$f(x)$ 的单调递减区间为 $\left[\dfrac {m-\sqrt {m^2+3}}{3},\dfrac {m+\sqrt {m^2+3}}{3}\right]$，单调递增区间为 $\left(-\infty,\dfrac {m-\sqrt {m^2+3}}{3} \right],\quad \left[\dfrac {m+\sqrt {m^2+3}}{3},+\infty\right)$解析因为$$f'(x)=3x^2-2mx-1,$$而$$\Delta=4m^2+12>0,$$所以 $f'(x)=0$ 有两个不等实数根：$$x_1=\dfrac {m-\sqrt {m^2+3}}{3},\quad x_2=\dfrac {m+\sqrt {m^2+3}}{3},$$显然 $x_1<x_2$．
当 $x_1<x<x_2$ 时，$f'(x)<0$，即 $f(x)$ 单调递减；
当 $ x>x_2$ 或 $x<x_1$ 时，$f'(x)>0$，即 $f(x)$ 单调递增．
综上所述，$f(x)$ 的单调递减区间为$$\left[\dfrac {m-\sqrt {m^2+3}}{3},\dfrac {m+\sqrt {m^2+3}}{3}\right],$$单调递增区间为$$\left(-\infty,\dfrac {m-\sqrt {m^2+3}}{3} \right],\quad \left[\dfrac {m+\sqrt {m^2+3}}{3},+\infty\right).$$ -
若对一切的实数 $x$，有 $f'(x)\geqslant |x|-\dfrac 74$ 成立，其中 $f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数．求实数 $m$ 的取值范围．标注答案$[-1,1]$解析由条件知：$$3x^2-2mx-1 \geqslant |x|-\dfrac 74.$$
情形一 当 $x>0$ 时，$$3x^2-(2m-1)x+\dfrac 34 \geqslant 0 ,$$即$$3x+\dfrac {3}{4x}\geqslant 2m+1$$在 $x>0$ 时恒成立．
因为$$3x+\dfrac {3}{4x}\geqslant2\sqrt {3x\cdot \dfrac {3}{4x}}=3,$$当 $x=\dfrac 12$ 时等号成立，所以$$3\geqslant 2m+1,$$解得 $m \leqslant 1$．情形二 当 $x<0$ 时，$$3|x|^2+(2m-1)|x|+\dfrac 34 \geqslant 0 ,$$即$$3|x|+\dfrac {3}{4|x|}\geqslant 1-2m$$在 $x<0$ 时恒成立．
因为$$3|x|+\dfrac {3}{4|x|}\geqslant2\sqrt {3|x|\cdot \dfrac {3}{4|x|}}=3,$$当 $x=-\dfrac 12$ 时等号成立，所以$$3\geqslant 1-2m,$$解得 $m \geqslant -1$．情形三 当 $x=0$ 时，$m \in \mathbb R$．
综上所述，实数 $m$ 的取值范围是 $[-1,1]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
