已知 $\dfrac{1}{\sin\theta}+\dfrac{1}{\cos\theta}=\dfrac{35}{12}$，$\theta \in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，求 $\tan\theta$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛江苏省预赛（初赛）
【标注】
【答案】
$\dfrac{3}{4}$ 或 $\dfrac{4}{3}$
【解析】
由题意，得\[12(\sin\theta +\cos\theta)=35\sin\theta \cos\theta \cdots\cdots \text{ ① }\]令 $\sin\theta +\cos\theta =t,t\in (1,\sqrt 2]$，则 ① 式化为$$12t=35\cdot \dfrac{t^2-1}{2},$$即\[35t^2-24t-35=0\cdots\cdots\text{ ② }\]解 ② 得 $t=\dfrac{7}{5}$ 或 $t=-\dfrac{5}{7}$（舍去），因此$$\sin\theta +\cos\theta =\dfrac{7}{5},$$从而$$\sin\theta \cos\theta =\dfrac{12}{25},$$所以\[\dfrac{\tan \theta }{1+\tan^2\theta}=\dfrac{12}{25},\]解得 $\tan\theta =\dfrac{3}{4}$ 或 $\dfrac{4}{3}$．
答案
解析
备注
