在平面直角坐标系 $xOy$ 中，双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A,B$ 两点．若 $OF\cdot AB=FA\cdot FB$，求双曲线 $C$ 的离心率 $e$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛江苏省预赛（初赛）
【标注】
【答案】
$1+\sqrt 2$
【解析】
由题意知，双曲线 $C$ 的右焦点 $F(c,0)$．
设直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha $，直线 $l$ 的方程为$$\begin{cases}x=c+t\cos \alpha,\\ y=t\sin\alpha,\end{cases}$$其中 $t$ 为参数．
将直线方程代入双曲线方程得\[(b^2\cos^2\alpha -a^2\sin^2\alpha )t^2+2b^2ct\cos\alpha +b^4=0,\]即\[(c^2\cos^2\alpha -a^2)t^2+(2b^{2}c\cos\alpha)t+b^4=0,\]则$$t_1t_2=\dfrac{b^4}{c^2\cos^2\alpha -a^2},$$且\[\begin{split}|t_1-t_2|&=\dfrac{2b^2\sqrt{c^2\cos^2\alpha -(c^2\cos^2\alpha -a^2)}}{|c^2\cos^2\alpha -a^2|}\\&=\dfrac{2ab^2}{|c^2\cos^2\alpha -a^2|},\end{split}\]因为\[OF\cdot AB=FA\cdot FB,\]即\[\dfrac{2ab^2c}{|c^2\cos^2\alpha -a^2|}=\dfrac{b^4}{|c^2\cos\alpha -a^2|}.\]所以 $2ac=b^2$，即$$e^2-2e-1=0,$$又因为 $e>1$，故 $e=1+\sqrt 2$．
设直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha $，直线 $l$ 的方程为$$\begin{cases}x=c+t\cos \alpha,\\ y=t\sin\alpha,\end{cases}$$其中 $t$ 为参数．
将直线方程代入双曲线方程得\[(b^2\cos^2\alpha -a^2\sin^2\alpha )t^2+2b^2ct\cos\alpha +b^4=0,\]即\[(c^2\cos^2\alpha -a^2)t^2+(2b^{2}c\cos\alpha)t+b^4=0,\]则$$t_1t_2=\dfrac{b^4}{c^2\cos^2\alpha -a^2},$$且\[\begin{split}|t_1-t_2|&=\dfrac{2b^2\sqrt{c^2\cos^2\alpha -(c^2\cos^2\alpha -a^2)}}{|c^2\cos^2\alpha -a^2|}\\&=\dfrac{2ab^2}{|c^2\cos^2\alpha -a^2|},\end{split}\]因为\[OF\cdot AB=FA\cdot FB,\]即\[\dfrac{2ab^2c}{|c^2\cos^2\alpha -a^2|}=\dfrac{b^4}{|c^2\cos\alpha -a^2|}.\]所以 $2ac=b^2$，即$$e^2-2e-1=0,$$又因为 $e>1$，故 $e=1+\sqrt 2$．
答案
解析
备注
