题目 已知三棱锥 $P-ABC$ 的三条侧棱 $PA,PB,PC$ 两两垂直，侧面 $PAB,PBC,PCA$ 与底面 $ABC$ 所成的二面角的平面角的大小分别为 $\theta_1,\theta_2,\theta_3$，底面 $\triangle {ABC}$ 的面积为 $4\sqrt 3$． 问题1 证明：$\tan \theta_1\cdot \tan \theta_2 \cdot \tan \theta_3\geqslant 2\sqrt 2$； 答案1 略 解析1 不妨设 $PA=a$，$PB=b$，$PC=c$．<br/>作 $PN\perp AB$ 于 $N$，连结 $CN$，则易知 $\angle{PNC}=\theta_1$，所以\[\begin{split}\tan\theta_1&=\tan \angle{PNC}\\&=\dfrac{PC}{PN}\\&=\dfrac{c}{\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}\\&=\dfrac c{ab}\cdot \sqrt{a^2+b^2}.\end{split}\]同理$$\begin{split}\tan \theta_2=\dfrac a{bc}\sqrt{b^2+c^2},\\\tan \theta_3=\dfrac b{ac}\sqrt{c^2+a^2},\end{split}$$所以\[\begin{split}&\tan \theta_1\cdot \tan \theta_2 \cdot \theta_3 \\=&\dfrac 1{abc}\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{b^2+c^2}\cdot \sqrt{c^2+a^2}\\ \geqslant & \dfrac 1{abc}\sqrt{2ab}\cdot \sqrt{2bc}\cdot \sqrt{2ca}\\=&2\sqrt 2,\end{split}\]当且仅当 $a=b=c$ 时，上式等号成立． 备注1 问题2 若 $\tan \theta_1+\tan \theta_2+\tan \theta_3=3\sqrt 2$，求该三棱锥的体积 $V_{P-ABC}$． 答案2 $\dfrac{8\sqrt 2}{3}$ 解析2 由均值不等式\[\begin{split}3\sqrt 2&=\tan \theta_1+\tan \theta_2 +\tan \theta_3 \\&\geqslant 3\sqrt[3]{\tan \theta_1 \cdot \tan \theta_2 \cdot \tan \theta_3}\\&\geqslant 3\sqrt 2,\end{split}\]当且仅当 $\tan \theta_1=\tan \theta_2 \tan \theta_3$，即 $a=b=c$ 时，上式等号成立．<br/>由 $a=b=c$ 及 $S_{\triangle{ABC}}=4\sqrt 3$ 得$$\dfrac {\sqrt 3}{4}\cdot (\sqrt 2 a)^2=4\sqrt 3,$$从而$$a=b=c=2\sqrt 2,$$故$$V_{P-ABC}=V_{C-PAB}=\dfrac 16 abc=\dfrac{8\sqrt 2}{3}.$$ 备注2