题目 已知函数 $f(x)=2\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)-\sqrt3\cos2x$． 问题1 求 $f(x)$ 的最小正周期和单调递减区间； 答案1 $\pi$，$\left[k\pi-\dfrac{5}{12}\pi,k\pi+\dfrac{\pi}{12}\right],k\in\mathbb Z$ 解析1 对原函数变形，得\[\begin{split}f(x)&=1-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)-\sqrt3\cos2x\\&=-\left(\sin2x+\sqrt3\cos2x\right)+1\\&=-2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)+1,\end{split}\]所以，函数 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\pi$．<br/>由$$2k\pi-\dfrac{\pi}{2}\leqslant2x+\dfrac{\pi}{3}\leqslant2k\pi+\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb Z,$$得$$k\pi-\dfrac{5}{12}\pi\leqslant x\leqslant k\pi+\dfrac{\pi}{12},k\in\mathbb Z.$$因此，函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $\left[k\pi-\dfrac{5}{12}\pi,k\pi+\dfrac{\pi}{12}\right],k\in\mathbb Z$． 备注1 问题2 若 $f(x)<m+2$ 在 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围． 答案2 $(-1-\sqrt3,+\infty)$ 解析2 因为 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]$，所以$$\dfrac{\pi}{3}\leqslant2x+\dfrac{\pi}{3}\leqslant\dfrac{2\pi}{3},$$故$$\dfrac{\sqrt3}{2}\leqslant\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\leqslant1.$$因此，当 $\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}$ 时，$f(x)$ 取得最大值，$$f(x)_{\max}=1-\sqrt3.$$因为题设条件等价于$$f(x)_{\max}<m+2,$$所以解得 $m>-1-\sqrt3$．<br/>因此，$m$ 的取值范围是 $(-1-\sqrt3,+\infty)$． 备注2