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  计数与概率

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  计数与概率

$28$

设正十一边形的顶点 $A_1,A_2,\cdots,A_{11}$，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形．
以 $A_i(i=1,2,\cdots,11)$ 为顶角顶点的等腰三角形有 $5$ 个，而这些三角形均不是等边三角形，即当 $j\ne i$ 时，以 $A_j$ 为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形．
故所有的等腰三角形共有 $5\cdot11=55$ 个．
当 $k=2$ 时，设其中 $A_m,A_n$ 染成红色，其余染成蓝色．
以 $A_m$ 为顶角顶点的等腰三角形有 $5$ 个，以 $A_m$ 为底角顶点的等腰三角形有 $10$ 个；
同时以 $A_m,A_n$ 为顶点的等腰三角形有 $3$ 个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有 $(5+10)\cdot2-3=27$ 个．
注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有 $55-27=28$ 个．

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$5$ 或 $6$

若 $11$ 个顶点中 $k$ 个染红色，其余 $11-k$ 个染蓝色，则这些顶点间连线段（边或对角线）中，两端点染红色的有 $\dfrac{k(k-1)}{2}$ 条，两端点染蓝色的有 $\dfrac{(11-k)(10-k)}{2}$ 条，两端点染一红一蓝的有 $k(11-k)$ 条，并且每条连线段必属于 $3$ 个等腰三角形．
把等腰三角形分 $4$ 类：
设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有 $x_1$ 个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有 $x_2$ 个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有 $x_3$ 个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有 $x_4$ 个．
按顶点颜色计算连线段，\[\begin{split}&3x_1+x_3=3\cdot\dfrac{k(k-1)}{2},\qquad\cdots\cdots\text{ ① }\\&3x_2+x_4=3\cdot\dfrac{(11-k)(10-k)}{2},\qquad\cdots\cdots\text{ ② }\\&2x_3+2x_4=3\cdot k(11-k).\qquad\cdots\cdots\text{ ③ }\end{split}\]由 $\text{ ① }+\text{ ② }$ 得$$3(x_1+x_2)+x_2+x_4=\dfrac32[k(k-1)+(11-k)(10-k)],$$用 $\text{ ③ }$ 代入得$$x_1+x_2=\dfrac12(3k^2-33k+110).$$当 $k=5$ 或 $6$ 时，$$\min\{x_1+x_2\}=\dfrac12(5\cdot4+6\cdot5-5\cdot6)=10,$$即顶点同色的等腰三角形最少有 $10$ 个，此时 $k=5$ 或 $6$．