服装销售商 $A$ 和 $B$ 欲经销某品牌服装制造企业生产的服装．该制造企业的设计部门在无任何有关 $A$ 和 $B$ 销售信息的情况下，随机地为他们提供了 $n$ 种不同设计的款式，由 $A$ 和 $B$ 各自独立地选定自己认可的那些款式，那么至少有一个款式为 $A$ 和 $B$ 共同认可的概率为多少？
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$P=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$
【解析】
以 $V$ 记为这 $n$ 种款式的集合，以 $P_A$ 和 $P_B$ 分别记为 $A$ 和 $B$ 各自选中的集合，则$$P_A \subseteq V , P_B \subseteq V.$$我们把 $A$ 和 $B$ 的选择合称一个选择方案，记为 $(P_A,P_B)$．
先证明以下结论：任何一个选择方案 $(P_A,P_B)$ 发生的概率为 $\left(\dfrac{1}{4}\right)^n$．
事实上，因为设计部门关于 $A$ 和 $B$ 的销售情况无任何信息，所以每一款式被 $A$ 或 $B$ 认可，还是否定，它们的概率均为 $\dfrac 12$．
若 $A$ 选中了 $k$ 个款式（$k=0,1,2,\cdots ,n$），同时也否定了其余 $n-k$ 个款式，所以 $A$ 的这一选择发生的概率为$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^k\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-k}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n.$$对于 $B$ 也完全一样．又由于 $A$ 和 $B$ 的选择是独立进行的，所以任一选择方案 $(P_A,P_B)$ 发生的概率为$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n }=\left(\dfrac{1}{4}\right)^n.$$我们以 $\overline {P}$ 记所有 $P_A \cap P_B=\varnothing $ 的选择方案 $(P_A,P_B)$ 发生的概率，则问题所要求的概率 $P=1-\overline {P}$．
为计算 $\overline {P}$，须计算所有满足 $P_A \cap P_B=\varnothing $ 的选择方案的个数 $S$．
按 $ P_A \cup P_B $ 所含元素的个数 $| P_A \cup P_B| $ 进行分类．
若 $| P_A \cup P_B|=i$，$i=0,1,2,\cdots ,n$，则 $P_A$ 可为这一 $i$ 元素中的任一子集，相应之 $P_B$ 为其补集，所以当 $| P_A \cup P_B|=i$ 时，所有可能的选择方案数为 $2^i \mathrm C_n^i$，从而由加法原理可得，当 $P_A \cap P_B \neq \varnothing $ 时所有可能的选择法案数为$$S=\sum \limits_{i=0}^n2^i \mathrm C_n^i=(1+2)^n=3^n,$$从而得$$\overline {P}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^n\cdot 3^n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^n,$$所以 $P=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$．
先证明以下结论：任何一个选择方案 $(P_A,P_B)$ 发生的概率为 $\left(\dfrac{1}{4}\right)^n$．
事实上，因为设计部门关于 $A$ 和 $B$ 的销售情况无任何信息，所以每一款式被 $A$ 或 $B$ 认可，还是否定，它们的概率均为 $\dfrac 12$．
若 $A$ 选中了 $k$ 个款式（$k=0,1,2,\cdots ,n$），同时也否定了其余 $n-k$ 个款式，所以 $A$ 的这一选择发生的概率为$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^k\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-k}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n.$$对于 $B$ 也完全一样．又由于 $A$ 和 $B$ 的选择是独立进行的，所以任一选择方案 $(P_A,P_B)$ 发生的概率为$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n }=\left(\dfrac{1}{4}\right)^n.$$我们以 $\overline {P}$ 记所有 $P_A \cap P_B=\varnothing $ 的选择方案 $(P_A,P_B)$ 发生的概率，则问题所要求的概率 $P=1-\overline {P}$．
为计算 $\overline {P}$，须计算所有满足 $P_A \cap P_B=\varnothing $ 的选择方案的个数 $S$．
按 $ P_A \cup P_B $ 所含元素的个数 $| P_A \cup P_B| $ 进行分类．
若 $| P_A \cup P_B|=i$，$i=0,1,2,\cdots ,n$，则 $P_A$ 可为这一 $i$ 元素中的任一子集，相应之 $P_B$ 为其补集，所以当 $| P_A \cup P_B|=i$ 时，所有可能的选择方案数为 $2^i \mathrm C_n^i$，从而由加法原理可得，当 $P_A \cap P_B \neq \varnothing $ 时所有可能的选择法案数为$$S=\sum \limits_{i=0}^n2^i \mathrm C_n^i=(1+2)^n=3^n,$$从而得$$\overline {P}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^n\cdot 3^n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^n,$$所以 $P=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$．
答案
解析
备注
