题目 已知函数 $f(x)=\sqrt3\sin\omega x\cdot\cos\omega x-\cos^2\omega x,\omega>0$ 的周期为 $\dfrac{\pi}{2}$． 问题1 求 $\omega$ 的值； 答案1 $2$ 解析1 对函数 $f(x)$ 进行变形整理得$$f(x)=\dfrac{\sqrt3}{2}\sin2\omega x-\dfrac12(\cos2\omega x+1)=\sin\left(2\omega x-\dfrac{\pi}{6}\right)-\dfrac12.$$由函数 $f(x)$ 的周期$$T=\dfrac{2\pi}{2\omega}=\dfrac{\pi}{2},$$得 $\omega=2$，函数 $f(x)$ 的表达式为$$f(x)=\sin\left(4x-\dfrac{\pi}{6}\right)-\dfrac12.$$ 备注1 问题2 设 $\triangle ABC$ 的三边 $a,b,c$ 满足 $b^2=ac$，且边 $b$ 所对的角为 $x$，求此时函数 $f(x)$ 的值域． 答案2 $\left[-1,\dfrac12\right]$ 解析2 余弦定理结合均值不等式得$$\cos x=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\geqslant\dfrac{2ac-ac}{2ac}=\dfrac12.$$又因为 $0<x<\pi$，可知 $0<x\leqslant\dfrac{\pi}{3}$，因此$$-\dfrac{\pi}{6}<4x-\dfrac{\pi}{6}\leqslant\dfrac{7\pi}{6},$$所以$$-1\leqslant\sin\left(4x-\dfrac{\pi}{6}\right)-\dfrac12\leqslant\dfrac12,$$即函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[-1,\dfrac12\right]$． 备注2