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已知 $F_1,F_2$ 是双曲线 $E:\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左，右焦点，点 $M$ 在 $E$ 上，$MF_1$ 与 $x$ 轴垂直，$\sin \angle MF_2F_1= \dfrac 13$，则 $E$ 的离心率为 \((\qquad)\)
A: $\sqrt 2$
B: $\dfrac 32$
C: $\sqrt 3$
D: $ 2$
【难度】
【出处】
2016年高考全国甲卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的基本量
  • 题型
    >
    解析几何
【答案】
A
【解析】
本题实际上只要解 $\mathrm{Rt}\triangle MF_2F_1$ 即可，除了下面的解法外，也可以用勾股定理来处理．离心率 $e=\dfrac{{|{F}_{1}}{{F}_{2}|}}{|M{{F}_{2}}|-|M{{F}_{1}}|}$，由正弦定理得\[\begin{split}e&=\dfrac{{|{F}_{1}}{{F}_{2}|}}{|M{{F}_{2}}|-|M{{F}_{1}}|}\\&=\dfrac{\sin \angle F_1MF_2}{\sin \angle M{{F}_{1}}F_2-\sin \angle M{{F}_{2}}F_1}\\&=\dfrac{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}\\&=\sqrt{2}.\end{split}\]
题目 答案 解析 备注
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