已知向量 $\overrightarrow a=(x^2,x+1)$，$\overrightarrow{b}=(1-x,t)$．若函数 $f(x)=\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ 在区间 $(-1,1)$ 上是单调增函数，求 $t$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2009年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
$[5,+\infty)$
【解析】
依定义，$$f(x)=x^2(1-x)+t(x+1)=-x^3+x^2+tx+t,$$则$$f'(x)=-3x^2+2x+t.$$若 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上是单调增函数，则在 $(-1,1)$ 上，$f'(x)\geqslant 0$，即$$-3x^2+2x+t\geqslant 0$$在 $x\in(-1,1)$ 上恒成立，即$$t\geqslant 3x^2-2x$$在 $x\in (-1,1)$ 上恒成立，只需令$$t\geqslant (3x^2-2x)_{\max}.$$令 $g(x)=3x^2-2x$，当 $x\in(-1,1)$ 时，$$g(x)_{\max}=g(-1)=5,$$故 $t\geqslant g(-1)=5$．
当 $t\geqslant 5$ 时，在 $(-1,1)$ 上，$f'(x)\geqslant 0$，即 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上是单调增函数，故 $t$ 的取值范围是 $[5,+\infty)$．
当 $t\geqslant 5$ 时，在 $(-1,1)$ 上，$f'(x)\geqslant 0$，即 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上是单调增函数，故 $t$ 的取值范围是 $[5,+\infty)$．
答案
解析
备注
