已知函数 $f(x)=\log_a\dfrac {x-3}{x+3}$，$a>0$，且 $a\neq 1$．若存在实数 $m$，$n$（$m<n$）及 $a$，使得 $f(x)$ 的定义域为 $(m,n)$，值域为 $(1+\log_a(n-1),1+\log_a(m-1))$，分别求 $m$ 和 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
【答案】
$m$ 的取值范围是 $(3,+\infty)$，$a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac {2-\sqrt 3}{4}\right)$
【解析】
由 $\dfrac {x-3}{x+3}>0$，得 $x$ 的取值范围为$$(-\infty,-3)\cup (3,+\infty).$$因为 $f(x)$ 的定义域为 $(m,n)$，且 $m>1$，$n>1$，所以 $m \geqslant 3$．
又$$m-1<n-1 , \log_a(n-1)<\log_a(m-1),$$所以 $0<a<1$．
易知$$u=\dfrac {x-3}{x+3}=1-\dfrac {6}{x+3}$$在 $(m,n)$ 上单调递增，而 $\log_au$ 单调递减，所以 $f(x)$ 在 $(m,n)$ 上单调递减，则有$$f(n)<f(x)<f(m),$$即$$\log_a\dfrac {n-3}{n+3}<f(x)<\log_a\dfrac {m-3}{m+3},\land m>3.\quad\cdots\cdots \text{ ① }$$又 $f(x)$ 值域为$$(1+\log_a(n-1),1+\log_a(m-1)),$$即$$\log_aa(n-1)<f(x)<\log_aa(m-1).\quad\cdots\cdots \text{ ② }$$由 ①② 得$$\begin{cases}a(n-1)=\dfrac {n-3}{n+3},\\a(m-1)=\dfrac {m-3}{m+3},\end{cases}$$因此，$m$，$n$ 是关于 $t$ 的方程 $a(t-1)= \dfrac {t-3}{t+3}$，即$$at^2+(2a-1)t+3(1-a)=0$$的两个不相等的实根，且 $3<m<n$．
令$$g(t)=at^2+(2a-1)t+3(1-a),$$则$$\begin{cases} \Delta=(2a-1)^2-12a(1-a)>0,\\ g(3)=12a>0,\\ -\dfrac {2a-1}{2a}>3,\end{cases}$$解得 $0<a<\dfrac {2-\sqrt 3}{4}$．
故 $m$ 的取值范围是 $(3,+\infty)$，$a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac {2-\sqrt 3}{4}\right)$．
又$$m-1<n-1 , \log_a(n-1)<\log_a(m-1),$$所以 $0<a<1$．
易知$$u=\dfrac {x-3}{x+3}=1-\dfrac {6}{x+3}$$在 $(m,n)$ 上单调递增，而 $\log_au$ 单调递减，所以 $f(x)$ 在 $(m,n)$ 上单调递减，则有$$f(n)<f(x)<f(m),$$即$$\log_a\dfrac {n-3}{n+3}<f(x)<\log_a\dfrac {m-3}{m+3},\land m>3.\quad\cdots\cdots \text{ ① }$$又 $f(x)$ 值域为$$(1+\log_a(n-1),1+\log_a(m-1)),$$即$$\log_aa(n-1)<f(x)<\log_aa(m-1).\quad\cdots\cdots \text{ ② }$$由 ①② 得$$\begin{cases}a(n-1)=\dfrac {n-3}{n+3},\\a(m-1)=\dfrac {m-3}{m+3},\end{cases}$$因此，$m$，$n$ 是关于 $t$ 的方程 $a(t-1)= \dfrac {t-3}{t+3}$，即$$at^2+(2a-1)t+3(1-a)=0$$的两个不相等的实根，且 $3<m<n$．
令$$g(t)=at^2+(2a-1)t+3(1-a),$$则$$\begin{cases} \Delta=(2a-1)^2-12a(1-a)>0,\\ g(3)=12a>0,\\ -\dfrac {2a-1}{2a}>3,\end{cases}$$解得 $0<a<\dfrac {2-\sqrt 3}{4}$．
故 $m$ 的取值范围是 $(3,+\infty)$，$a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac {2-\sqrt 3}{4}\right)$．
答案
解析
备注
