设 $a>0$，平面上的点如果其坐标都是整数，则称之为格点．今有曲线 $y=ax^3$ 过格点 $(n,m)$，记 $1\leqslant x \leqslant n$ 对应的曲线段上的格点数为 $N$．证明：$$N=\sum\limits_{k=1}^{n}\left[ak^3\right]+\sum\limits_{k=1}^m\left[\sqrt[3]{\dfrac ka}\right]-mn.$$
【难度】
【出处】
2010年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑区域 $0<x\leqslant n$，$0<y\leqslant m$，且该区域上的格点为 $nm$ 个．
又该区域由区域$$E:0<x\leqslant n,0<y\leqslant ax^3,$$以及区域$$F:0<y\leqslant m,0<x\leqslant \sqrt[3]{\dfrac ya}$$组成．
在区域 $E$ 上，直线段 $x=k$（$k\in \mathbb N^*$，$1\leqslant k\leqslant n$）上的格点为 $[ak^3]$ 个，所以区域 $E$ 上的格点数为 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}[ak^3]$．
同理区域 $F$ 上的个点数为 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{m}\left[\sqrt[3]{\dfrac ka}\right]$．
由容斥原理$$N=\sum\limits_{k=1}^{n}[ak^3]+\sum\limits_{k=1}^{m}\left[\sqrt[3]{\dfrac ka}\right]-mn.$$
又该区域由区域$$E:0<x\leqslant n,0<y\leqslant ax^3,$$以及区域$$F:0<y\leqslant m,0<x\leqslant \sqrt[3]{\dfrac ya}$$组成．
在区域 $E$ 上，直线段 $x=k$（$k\in \mathbb N^*$，$1\leqslant k\leqslant n$）上的格点为 $[ak^3]$ 个，所以区域 $E$ 上的格点数为 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}[ak^3]$．
同理区域 $F$ 上的个点数为 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{m}\left[\sqrt[3]{\dfrac ka}\right]$．
由容斥原理$$N=\sum\limits_{k=1}^{n}[ak^3]+\sum\limits_{k=1}^{m}\left[\sqrt[3]{\dfrac ka}\right]-mn.$$
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解析
备注
