已知方程 $\dfrac{x^2}{m^2+n}-\dfrac{y^2}{3m^2-n}=1$ 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 $4$，则 $n$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年高考全国乙卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
题目中描述了两个条件：
① 方程 $\dfrac{x^2}{m^2+n}-\dfrac{y^2}{3m^2-n}=1$ 表示双曲线；
② 两焦点间的距离为 $4$；
分别将其准确翻译为数学代数式，是解决问题的关键．题中方程表示双曲线，则 $\left(m^2+n\right)\left(3m^2-n\right)>0$，所以\[-m^2<n<3m^2,\]由两焦点间的距离为 $4$，\[c^2=\left(m^2+n\right)+\left(3m^2-n\right)=4m^2,\]其中 $c$ 为半焦距，所以焦距 $2c=2\cdot2|m|=4$，解得 $|m|=1$．
① 方程 $\dfrac{x^2}{m^2+n}-\dfrac{y^2}{3m^2-n}=1$ 表示双曲线；
② 两焦点间的距离为 $4$；
分别将其准确翻译为数学代数式，是解决问题的关键．题中方程表示双曲线，则 $\left(m^2+n\right)\left(3m^2-n\right)>0$，所以\[-m^2<n<3m^2,\]由两焦点间的距离为 $4$，\[c^2=\left(m^2+n\right)+\left(3m^2-n\right)=4m^2,\]其中 $c$ 为半焦距，所以焦距 $2c=2\cdot2|m|=4$，解得 $|m|=1$．
题目
答案
解析
备注
