本题考查构造函数比较代数式的大小问题，主要思路是将变量尽可能的移动到不等号的两边，构造出函数，利用函数单调性进行判断．对于A：由于 $0<c<1$，根据幂函数性质，$y=x^c$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 上单调递增，因此 $a>b>1$ 时，$a^c>b^c$，故不正确；
对于B：选项可变形为 $b^{c-1}<a^{c-1}$，根据幂函数性质，$y=x^{c-1}$ 在 $\left(1,+\infty\right)$ 上单调递减，因此 $b^{c-1}>a^{c-1}$，故不正确；
对于C：要比较 $a\log_bc$ 和 $b\log_ac$，只需比较 $\dfrac{a\ln c}{\ln b}$ 和 $\dfrac{b\ln c}{\ln a}$，只需比较 $\dfrac{\ln c}{b\ln b}$ 和 $\dfrac{\ln c}{a\ln a}$，只需比较 $b\ln b$ 和 $a\ln a$ 的大小．
构造函数 $f\left(x\right)=x\ln x\left(x>1\right)$，则 $f'\left(x\right)=\ln x+1>1>0$，所以 $f\left(x\right)$ 在 $\left(1,+\infty\right)$ 上单调递增，因此\[f\left(a\right)>f\left(b\right)>0\Leftrightarrow a\ln a>b\ln b>0\Leftrightarrow\dfrac{1}{a\ln a}<\dfrac{1}{b\ln b},\]又由 $0<c<1$，得 $\ln c<0$，所以 $\dfrac{\ln c}{a\ln a}>\dfrac{\ln c}{b\ln b}$，因此 $a\log_bc<b\log_ac$，正确；
对于D：要比较 $\log_ac$ 和 $\log_bc$，只需比较 $\dfrac{\ln c}{\ln a}$ 和 $\dfrac{\ln c}{\ln b}$ 的大小；
结合函数 $y=\ln x$在 $\left(1,+\infty\right)$ 上单调递增，故当 $a>b>1$ 时，$\ln a>\ln b$，即 $\dfrac{1}{\ln a}<\dfrac{1}{\ln b}$，又 $0<c<1$，得 $\ln c<0$，所以 $\dfrac{\ln c}{\ln a}>\dfrac{\ln c}{\ln b}$，故不正确．