如图，斜三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的棱长均为 $a$，侧面 $B_1C_1CB\perp \text{底面}ABC$，且 $AC_1\perp BC$．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
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求异面直线 $AA_1$ 与 $B_1C_1$ 间的距离；标注答案$ \dfrac {\sqrt 3}{2}a$解析如图，取 $BC$ 中点 $D$，连接 $AD,C_1D$．因为 $AD\perp BC,AC_1\perp BC$ 所以 $BC\perp $ 平面 $ADC_1$，可知 $C_1D\perp BC.$ 因为平面 $B_1C_1CB\perp $ 底面 $ABC$，所以 $C_1D\perp $ 平面 $ABC.$由 $AD\perp BC$ 知 $AD\perp $ 平面 $B_1C_1CB.$ 由于 $AA_1\parallel CC_1$，可知 $AA_1\parallel $ 平面 $B_1C_1CB$．所以一面直线 $AA_1$ 与 $B_1C_1$ 间的距离 $AD=\dfrac {\sqrt 3}{2}a$．
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求侧面 $A_1B_1BA$ 与底面 $ABC$ 所成二面角的度数．标注答案$\pi -\arctan 2$解析如图，过点 $B_1$ 作 $B_1O\perp BC$，交 $BC$ 于点 $O$，则 $B_1O\perp $ 底面 $ABC.$ 过点 $O$ 作 $OE\perp AB$，交 $AB$ 于点 $E$，连接 $B_1E$，则 $\angle B_1EO$ 与所求二面角的平面角互补，易知 $B_1O=C_1D=\dfrac {\sqrt 3}{2}a,OB=\dfrac a2,OE=\dfrac {\sqrt 3}{4}a.$ 所以$$\tan \angle B_1EO=\dfrac {B_1O}{OE}=\dfrac {\dfrac {\sqrt 3}{2}a}{\dfrac {\sqrt 3}{4}a}=2,$$则 $\angle B_1EO=\arctan 2.$ 所以侧面 $A_1B_1BA$ 与底面 $ABC$ 所成二面角的度数为 $\pi -\arctan 2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
