平面 $\alpha$ 过正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的顶点 $A$，$\alpha \parallel 平面 CB_1D_1$，$\alpha\cap 平面 ABCD=m$，$\alpha\cap 平面 ABB_1A_1=n$，则 $m,n$ 所成角的正弦值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年高考全国乙卷（文）
【标注】
【答案】
A
【解析】
本题的难点在于 $\alpha$ 与面 $ABCD$ 的交线 $m$ 和 $\alpha$ 与面 $ABB_1A_1$ 的交线 $n$ 均不可见，此时需要利用两平行平面与第三个平面相交时交线平行的特性，在正方体中找到 $m,n$ 的平行线，求这两条平行线的夹角正弦值即可．如图所示：
因为 $\alpha\parallel 平面 CB_1D_1$，所以若设平面 $CB_1D_1\cap 平面 ABCD=m_1$，则 $m_1\parallel m$．
又因为 $ 平面 ABCD\parallel 平面 A_1B_1C_1D_1$，结合 $ 平面 B_1D_1C\cap 平面 A_1B_1C_1D_1=B_1D_1$．
所以 $B_1D_1\parallel m_1$，故 $B_1D_1\parallel m$，同理可得 $CD_1\parallel n$．
故 $m,n$ 的所成角的大小与 $B_1D_1,CD_1$ 所成角的大小相等，即 $\angle CD_1B_1$ 的大小．
而 $B_1C=B_1D_1=CD_1$（均为面对角线），因此 $\angle CD_1B_1=\dfrac{\mathrm \pi} {3}$，即 $\sin\angle CD_1B_1=\dfrac{\sqrt3}{2}$．
因为 $\alpha\parallel 平面 CB_1D_1$，所以若设平面 $CB_1D_1\cap 平面 ABCD=m_1$，则 $m_1\parallel m$．又因为 $ 平面 ABCD\parallel 平面 A_1B_1C_1D_1$，结合 $ 平面 B_1D_1C\cap 平面 A_1B_1C_1D_1=B_1D_1$．
所以 $B_1D_1\parallel m_1$，故 $B_1D_1\parallel m$，同理可得 $CD_1\parallel n$．
故 $m,n$ 的所成角的大小与 $B_1D_1,CD_1$ 所成角的大小相等，即 $\angle CD_1B_1$ 的大小．
而 $B_1C=B_1D_1=CD_1$（均为面对角线），因此 $\angle CD_1B_1=\dfrac{\mathrm \pi} {3}$，即 $\sin\angle CD_1B_1=\dfrac{\sqrt3}{2}$．
题目
答案
解析
备注
