$A,B,C$ 三个围棋代表队各出 $3$ 名选手参加三队之间的围棋擂台赛，规则如下：
① 每队都排好 $3$ 名选手的参赛顺序；
② 每轮比赛只有两队各出一名队员比赛，另一队轮空；
③ 每名选手输一盘后则被淘汰，不再参加后面的比赛；
④ 每轮比赛获胜的选手将与本轮轮空代表队的一名选手进行下一轮比赛，当轮空代表队没有可参赛选手时，则与本轮负队的另一名选手进行下一轮比赛；
⑤ 如果有两队的所有选手均被淘汰，那么第三队获胜．
经抽签，$A$ 队第一轮轮空，则 $A$ 队获胜的可能情况有几种？
① 每队都排好 $3$ 名选手的参赛顺序；
② 每轮比赛只有两队各出一名队员比赛，另一队轮空；
③ 每名选手输一盘后则被淘汰，不再参加后面的比赛；
④ 每轮比赛获胜的选手将与本轮轮空代表队的一名选手进行下一轮比赛，当轮空代表队没有可参赛选手时，则与本轮负队的另一名选手进行下一轮比赛；
⑤ 如果有两队的所有选手均被淘汰，那么第三队获胜．
经抽签，$A$ 队第一轮轮空，则 $A$ 队获胜的可能情况有几种？
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$82$
【解析】
由于比赛场次只可能是 $6,7,8$ 三种情况，下面分类讨论．
为叙述简单，以下约定 $A,B,C$ 表示各代表队选手出局．
比如，前三场分别是 $B$ 胜 $C$，$A$ 胜 $B$，$A$ 胜 $C$，则可记为 $CBC$．
根据题意，不能连续出现 $BB$（或 $CC$），除非 $C$（或 $B$）已经全部出局．
由于 $BC$ 先赛，不妨设 $B$ 胜，故只需将以下结果乘以 $2$ 即可．
① 赛 $6$ 场：此时 $A$ 队全胜，没有字母 $A$ 出现，故只能是 $CBCBCB$，共 $1$ 种；
② 赛 $7$ 场：此时 $A$ 队输一场，只能出现一次 $A$，故 $CACBCBB$，$CABCBCB$，$CBABCBC$，$CBACBCB$ $CBCACBC$，$CBCABCB$，$CBCBABC$，$CBCBACB$，$CBCBCAB$．这里的排列规则是，$A$ 出现时，其后一位可以是 $B$ 或 $C$，但最后一种情况例外，此时 $C$ 已经全部出局了，共 $9$ 种．
③ 赛 $8$ 场：此时 $A$ 队输两场，出现两次 $A$，故分以下情况分析：
$A$ 出现在 $2,4$ 位，$CACACBBB$ 等 $4$ 种，即是 $A$ 出现时，其后一位可以是 $B$ 或 $C$．
$A$ 出现在 $2,5$ 位，$CACBACBB$ 等 $4$ 种；
$A$ 出现在 $2,6$ 位，$CACBCABB$（此时倒数三位只能是 $ABB$，因为 $C$ 已全部出局），$CABCBABC$，$CABCBACB $，共 $3$ 种；
$A$ 出现在 $2,7$ 位，$CABCBCAB$，$CACBCBAB$，共 $2$ 种；
$A$ 出现在 $3,5$ 位，$ CBABABCC $ 等 $4$ 种；
$A$ 出现在 $3,6$ 位，$CBABCABC $ 等 $4$ 种；
$A$ 出现在 $3,7$ 位，$ CBABCBAC$，$CBACBCAB$，$2$ 种；
$A$ 出现在 $4,6$ 位，$CBCABABC$，$CBCACABB$，$CBCABACB$，$3$ 种；
$A$ 出现在 $4,7$ 位，$CBCBACAB$，$CBCBABAC$，$2$ 种；
$A$ 出现在 $5,7$ 位，$CBCBABAC$，$CBCBACAB $，$2$ 种；
$A$ 出现在 $6,7$ 位，（此种情况最容易遗漏，因为 $C$ 已全部出局，故 $A$ 可以连续）$ CBCBCAAB$．
综上，共 $41\times 2=82$ 种．
为叙述简单，以下约定 $A,B,C$ 表示各代表队选手出局．
比如，前三场分别是 $B$ 胜 $C$，$A$ 胜 $B$，$A$ 胜 $C$，则可记为 $CBC$．
根据题意，不能连续出现 $BB$（或 $CC$），除非 $C$（或 $B$）已经全部出局．
由于 $BC$ 先赛，不妨设 $B$ 胜，故只需将以下结果乘以 $2$ 即可．
① 赛 $6$ 场：此时 $A$ 队全胜，没有字母 $A$ 出现，故只能是 $CBCBCB$，共 $1$ 种；
② 赛 $7$ 场：此时 $A$ 队输一场，只能出现一次 $A$，故 $CACBCBB$，$CABCBCB$，$CBABCBC$，$CBACBCB$ $CBCACBC$，$CBCABCB$，$CBCBABC$，$CBCBACB$，$CBCBCAB$．这里的排列规则是，$A$ 出现时，其后一位可以是 $B$ 或 $C$，但最后一种情况例外，此时 $C$ 已经全部出局了，共 $9$ 种．
③ 赛 $8$ 场：此时 $A$ 队输两场，出现两次 $A$，故分以下情况分析：
$A$ 出现在 $2,4$ 位，$CACACBBB$ 等 $4$ 种，即是 $A$ 出现时，其后一位可以是 $B$ 或 $C$．
$A$ 出现在 $2,5$ 位，$CACBACBB$ 等 $4$ 种；
$A$ 出现在 $2,6$ 位，$CACBCABB$（此时倒数三位只能是 $ABB$，因为 $C$ 已全部出局），$CABCBABC$，$CABCBACB $，共 $3$ 种；
$A$ 出现在 $2,7$ 位，$CABCBCAB$，$CACBCBAB$，共 $2$ 种；
$A$ 出现在 $3,5$ 位，$ CBABABCC $ 等 $4$ 种；
$A$ 出现在 $3,6$ 位，$CBABCABC $ 等 $4$ 种；
$A$ 出现在 $3,7$ 位，$ CBABCBAC$，$CBACBCAB$，$2$ 种；
$A$ 出现在 $4,6$ 位，$CBCABABC$，$CBCACABB$，$CBCABACB$，$3$ 种；
$A$ 出现在 $4,7$ 位，$CBCBACAB$，$CBCBABAC$，$2$ 种；
$A$ 出现在 $5,7$ 位，$CBCBABAC$，$CBCBACAB $，$2$ 种；
$A$ 出现在 $6,7$ 位，（此种情况最容易遗漏，因为 $C$ 已全部出局，故 $A$ 可以连续）$ CBCBCAAB$．
综上，共 $41\times 2=82$ 种．
答案
解析
备注
