利用倍角公式将所求表达式进行整理，即统一角，再进行弦化切与已知条件联系起来，注意弦化切前须将分母视为 $ 1 $．将所求表达式进行化简\[\begin{split}{{\cos }^{2}}\alpha +2\sin 2\alpha& \overset{\left[a\right]}={{\cos }^{2}}\alpha +{4}\sin \alpha \cos \alpha \\&=\frac{{{\cos }^{2}}\alpha +{4}\sin \alpha \cos \alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha }\\&\overset{\left[b\right]}=\frac{{1+4\tan}\alpha }{1+\tan^2\alpha }\\&=\frac{64}{25}.\end{split}\]（推导中用到：[a]；[b]