设 $ABCD$ 是一个四面体，且 $AB=41$，$AC=7$，$AD=18$，$BC=36$，$BD=27$，$CD=13$，如图所示，设 $d$ 是棱 $AB$ 和 $CD$ 的中点之间的距离，求 ${{d}^{2}}$．
【难度】
【出处】
1989年第7届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
137
【解析】
在 $\vartriangle ACD$ 和 $\vartriangle BCD$ 中，根据中线定理可计算
$4A{{N}^{2}}=2\left( A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}\right)-C{{D}^{2}}$，
$4B{{N}^{2}}=2\left( B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}\right)-C{{D}^{2}}$．
同理，连接 $AN$，$BN$，在 $\vartriangle ABN$ 中，
$4{{d}^{2}}=4M{{N}^{2}}=2\left(A{{N}^{2}}+B{{N}^{2}} \right)-A{{B}^{2}}$
$=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}+B{{D}^{2}}-\left(C{{D}^{2}}+A{{B}^{2}} \right)$
$=548$，
${{d}^{2}}=M{{N}^{2}}=137$．
$4A{{N}^{2}}=2\left( A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}\right)-C{{D}^{2}}$，
$4B{{N}^{2}}=2\left( B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}\right)-C{{D}^{2}}$．
同理，连接 $AN$，$BN$，在 $\vartriangle ABN$ 中，
$4{{d}^{2}}=4M{{N}^{2}}=2\left(A{{N}^{2}}+B{{N}^{2}} \right)-A{{B}^{2}}$
$=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}+B{{D}^{2}}-\left(C{{D}^{2}}+A{{B}^{2}} \right)$
$=548$，
${{d}^{2}}=M{{N}^{2}}=137$．
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