欧拉公式指出：对任意一个凸多面体，如果它有 $V$ 个顶点，$E$ 条棱，$F$ 个面，则 $V-E+F=2$．
有一个凸多面体有32个面，且每一个面或者是三角形或者是五边形，它的 $V$ 个顶点中每一个顶点恰有 $T$ 个三角形面和 $P$ 个五边形面相交，问 $100P+10T+V$ 是多少？
有一个凸多面体有32个面，且每一个面或者是三角形或者是五边形，它的 $V$ 个顶点中每一个顶点恰有 $T$ 个三角形面和 $P$ 个五边形面相交，问 $100P+10T+V$ 是多少？
【难度】
【出处】
1993年第11届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
250
【解析】
由于 $F-E+V=2$ 和 $F=32$，故 $E=V+30$．
又因为 $T+P$ 个面相交于每一个顶点，从而 $T+P$ 条边相交于每一个顶点，故 $2E=V\left(T+P \right)$，进而可得 $V\left( T+P \right)=2\left( V+30 \right)$，
即 $V\left( T+P-2\right)=60$．（4）
每一个三角形的面有3个顶点，故积 $VT$ 是三角形的面的个数的3倍，这样三角形面的个数为 $\frac{VT}{3}$，同样道理，五边形面的个数为 $\frac{VP}{5}$．因为每一个面是三角形或五边形，故
$V\left( \frac{T}{3}+\frac{P}{5} \right)=32$．（5）
由（4）、（5）消去 $V$ 得 $3T+5P=16$．
这个方程唯一的非负整数解 $T=P=2$．由（4）可知 $V=30$，这样 $100P+10T+V=250$．
又因为 $T+P$ 个面相交于每一个顶点，从而 $T+P$ 条边相交于每一个顶点，故 $2E=V\left(T+P \right)$，进而可得 $V\left( T+P \right)=2\left( V+30 \right)$，
即 $V\left( T+P-2\right)=60$．（4）
每一个三角形的面有3个顶点，故积 $VT$ 是三角形的面的个数的3倍，这样三角形面的个数为 $\frac{VT}{3}$，同样道理，五边形面的个数为 $\frac{VP}{5}$．因为每一个面是三角形或五边形，故
$V\left( \frac{T}{3}+\frac{P}{5} \right)=32$．（5）
由（4）、（5）消去 $V$ 得 $3T+5P=16$．
这个方程唯一的非负整数解 $T=P=2$．由（4）可知 $V=30$，这样 $100P+10T+V=250$．
答案
解析
备注
