一副三色纸牌，共有 $32$ 张，其中红黄蓝每种颜色的牌各 $10$ 张，编号分别是 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}10$；另有大小王牌各一张，编号均为 $0$ 。从这副牌中任取若干张牌，然后按照如下规则计算分值：每张编号为 $k$ 的牌记为 ${{2}^{k}}$ 分。若他们的分值之和为 $2004$，则称这些牌为一个“好牌组”。试求“好牌组”的个数。
【难度】
【出处】
2004第3届CGMO试题
【标注】
【答案】
${{1003}^{2}}$
【解析】
解法一：称原题为“两王问题”。若增加一张王牌（称为“中王”），编号也为 $0$，再考虑同样的问题则称为“三王问题”。先考虑“三王问题”。将大中小三张王牌分别称为红王、黄王和蓝王，于是每种颜色的牌都是 $11$ 张，编号分别为 $0\text{,}1\text{,}2\text{,}\cdots\text{,}10$ 。将分值之和为 $n$ 的牌组个数记作 ${{u}_{n}}$ 。每一个牌组都可能由红组、黄组、蓝组组成，将其中红黄蓝的分值之和分别记为 $x\text{,}y\text{,}z$，则 $x+y+z\text{=}n$ 。由于任意非负整数的二进制表示方法唯一，所以一旦 $x\text{,}y\text{,}z$ 的值确定之后，红组黄组蓝组的构成情况便唯一确定。方程 $x+y+z\text{=}n$ 的非负整数解组数为 $C_{n+2}^{2}$，所以 ${{u}_{n}}\text{=}C_{n+2}^{2}\text{=}\frac{\left(n+1 \right)\left( n+2 \right)}{2}$（1）现在考虑原题中的“两王问题”。对于 $n\in \left\{ 1\text{,}2\text{,}\cdots 2004 \right\}$，用 ${{a}_{n}}$ 表示分值之和为 $n$ 的牌组的个数。当 $n\text{=}2k\le2004$ 时，对于分值之和为 $2k$ 的任一牌组，有：（1）若组内无王牌，则该牌组就是“三王问题”中的一个分值之和为 $2k$ 的无王牌组。如果将其中的每张牌的分值都除以 $2$，就得到“三王问题”中的一个分值之和为 $k$ 且允许包括王牌的牌组。易见，这种对应是一一对应，所以这种牌组的个数为 ${{u}_{k}}$ 。（2）若组内有王牌，则必有两张王牌。去掉王牌之后则化归为分值之和为 $2k-2$ 的无王牌牌组。从而，这种牌组的个数为 ${{u}_{k-1}}$，所以 ${{a}_{2k}}\text{=}{{u}_{k}}+{{u}_{k-1}}\text{=}\frac{\left(k+1 \right)\left( k+2 \right)}{2}+\frac{k\left( k+1 \right)}{2}\text{=}{{\left(k+1 \right)}^{2}}\text{,}k\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}1002$ 故所求“好牌组”的个数为 ${{a}_{2004}}\text{=}{{1003}^{2}}\text{=}1006009$ 解法二：对于 $n\in \left\{ 1\text{,}2\text{,}\cdots\text{,}2004 \right\}$，用 ${{a}_{n}}$ 表示分值之和为 $n$ 的牌组的个数。则 ${{a}_{n}}$ 等于函数 $f\left( x\right)\text{=}{{\left( 1+{{x}^{{{2}^{0}}}} \right)}^{2}}{{\left(1+{{x}^{{{2}^{1}}}} \right)}^{3}}{{\left( 1+{{x}^{{{2}^{2}}}}\right)}^{3}}\cdots {{\left( 1+{{x}^{{{2}^{11}}}} \right)}^{3}}$ 的展开式中 ${{x}^{n}}$ 的系数。我们约定 $\left|x \right|\text{}1$，由 $f\left( x \right)\text{=}\frac{1}{1+x}{{\left[ \left(1+{{x}^{{{2}^{0}}}} \right)\left( 1+{{x}^{{{2}^{1}}}} \right)\left(1+{{x}^{{{2}^{2}}}} \right)\cdots \left( 1+{{x}^{{{2}^{10}}}} \right) \right]}^{3}}\text{=}\frac{1}{\left(1+x \right){{\left( 1-x \right)}^{3}}}{{\left( 1-{{x}^{{{2}^{11}}}}\right)}^{3}}$，而 $n\leqslant 2004\text{}{{2}^{11}}$，所以 ${{a}_{n}}$ 等于 $\frac{1}{\left(1+x \right){{\left( 1-x \right)}^{3}}}\text{=}\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}{{\left(1-x \right)}^{2}}}$ 的展开式中 ${{x}^{n}}$ 的系数 $\frac{1}{\left(1-{{x}^{2}} \right){{\left( 1-x \right)}^{2}}}\text{=}\frac{1}{\left(1-{{x}^{2}} \right)}\cdot \frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}\text{=}\left(1+{{x}^{2}}+{{x}^{4}}+\cdots +{{x}^{2k}}+\cdots \right)\cdot \left( 1+2x+3{{x}^{2}}+\cdots+\left( 2k+1 \right){{x}^{2k}}+\cdots \right)$ 故 ${{x}^{2k}}$ 的系数为 ${{a}_{2k}}\text{=}1+3+5+\cdots+\left( 2k+1 \right)\text{=}{{\left( k+1\right)}^{2}}\text{,}k\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots $；故所求“好牌组”的个数为 ${{a}_{2004}}\text{=}{{1003}^{2}}\text{=}1006009$
答案
解析
备注
