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已知点 $A$ 的坐标为 $\left(4\sqrt 3,1\right)$，将 $OA$ 绕坐标原点 $O$ 逆时针旋转 $\dfrac{\mathrm \pi}3$ 至 $OB$，则点 $B$ 的纵坐标为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{3\sqrt 3}2$
B: $\dfrac{5\sqrt 3}2$
C: $\dfrac{11}2$
D: $\dfrac{13}2$
【难度】
【出处】
2015年高考上海卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    平面几何
    >
    几何变换
    >
    旋转变换
  • 题型
    >
    平面几何
【答案】
D
【解析】
设 $ B\left(x,y\right) $，$OA $ 的倾斜角为 $ \alpha $，且 $ OA=7 $，所以 $ \sin \alpha =\dfrac17 $，$\cos \alpha =\dfrac{4\sqrt3}{7} $，所以 $OB $ 的倾斜角为 $ \alpha+\dfrac{\mathrm \pi}{3} $，所以 $ \sin \left(\alpha+\dfrac{\mathrm \pi}{3}\right)=\dfrac{y}{7} $，解得 $ y=\dfrac{13}{2} $．
题目 答案 解析 备注
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