记方程 ①：$x^2+a_1x+1=0$，方程 ②：$x^2+a_2x+2=0$，方程 ③：$x^2+a_3x+4=0$，其中 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 是正实数．当 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 成等比数列时，下列选项中，能推出方程 ③ 无实根的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考上海卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
由题意知 $a_3=\dfrac{a_2^2}{a_1}$，方程 ③ 无实根，当且仅当方程 ③ 的判别式\[\Delta_3=a_3^2-16=\dfrac{1}{a_1^2}\left(a_2^2+4a_1\right)\left(a_2^2-4a_1\right)<0.\]又 $a_1,a_2,a_3$ 均为正实数，故只需 $a_2^2-4a_1<0$．而方程 ① 的判别式 $\Delta_1=a_1^2-4$，方程 ② 的 $\Delta_2=a_2^2-8$．
当 $\Delta_1\geqslant 0$，而 $\Delta_2<0$ 时，有 $a_1\geqslant 2$，$a_2^2<8$，此时 $\Delta_3<0$．
当 $\Delta_1\geqslant 0$，而 $\Delta_2<0$ 时，有 $a_1\geqslant 2$，$a_2^2<8$，此时 $\Delta_3<0$．
题目
答案
解析
备注
