在正 $2018$ 边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色．求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$2{\rm C}_{1009}^3$
【解析】
设 $N$ 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，$M$ 是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，$x_i$ 是以第 $i$ 个顶点为端点的红色线段数目，则有 $M+N={\rm C}_{2018}^3,\displaystyle\sum_{i=1}^{2018}x_i(2017-x_i)=2M$．当且仅当每个 $x_i=1008$ 或 $1009$ 时，$N$ 取得最小值 ${\rm C}_{2018}^3-1009^2\times 1008=2{\rm C}_{1009}^3$．$N=2{\rm C}_{1009}^3$ 是可以取到的，例如：把线段 $i\rightarrow i\pm j\bmod 2018(1\leqslant i\leqslant 2018,1\leqslant j\leqslant 504)$ 染成红色，其他线段染成蓝色．
答案
解析
备注
