考虑复平面上的正方形，它的 $4$ 个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程 $x^{4}+p x^{3}+q x^{2}+r x+s=0$ 的 $ 4 $ 个根．求这种正方形面积的最小值．
【难度】
【出处】
2002年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
依题意，可知方程的 $4$ 个根只能是下面的两种情形：$2$ 个实根与 $1$ 对共轭虚根；$2$ 对共轭虚根．
（1）若方程的 $4$ 个根是 $2$ 个实根与 $1$ 对共轭虚根，则可设此 $4$ 个根为 $a \pm b, a \pm b i$．于是，原方程为 $(x-a)^{4}=b^{4}$，即 $x^{4}-4 a x^{3}+6 a^{2} x^{2}-4 a^{3} x+a^{4}-b^{4}=0$．
由 $-4 a \in \mathbf{Z}$，且4 $a^{3} \in \mathbf{Z}$ 可知 $a \in \mathbf{Z}$．由 $a^{4}-b^{4} \in\mathbf{z}$ 知 $b^{4} \in \mathbf{Z}$，所以，$b^{4} \geqslant 1, b^{2} \geqslant 1$．此时正方形的面积为2 $b^{2} \geqslant 2$，当 $a \in \mathbf{z}, b=\pm 1$ 时等号成立．
（2）若方程的 $4$ 个根为 $2$ 对共轭虚根，则可设此 $4$ 个根为 $a \pm b i, a+2 b \pm b i$．这 $4$ 个根为方程 $(x-(a+b) )^{4}=-4 b^{4}$ 的 $4$ 个根．同上讨论可知，进而 $4 b^{4} \geqslant 1, b^{2} \geqslant \dfrac{1}{2}$．于是，正方形的面积为4 $b^{2} \geqslant 2 $．当 $b=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}, a+b \in \mathbf{Z}$ 时等号成立．
综上可知，这样的正方形的面积大于等于 $2$．又方程 $x^{4}=1$ 的 $4$ 个根为复平面上一个面积等于 $2$ 的正方形的 $4$ 个顶点，所以，这种正方形面积的最小值为 $2$．
（1）若方程的 $4$ 个根是 $2$ 个实根与 $1$ 对共轭虚根，则可设此 $4$ 个根为 $a \pm b, a \pm b i$．于是，原方程为 $(x-a)^{4}=b^{4}$，即 $x^{4}-4 a x^{3}+6 a^{2} x^{2}-4 a^{3} x+a^{4}-b^{4}=0$．
由 $-4 a \in \mathbf{Z}$，且4 $a^{3} \in \mathbf{Z}$ 可知 $a \in \mathbf{Z}$．由 $a^{4}-b^{4} \in\mathbf{z}$ 知 $b^{4} \in \mathbf{Z}$，所以，$b^{4} \geqslant 1, b^{2} \geqslant 1$．此时正方形的面积为2 $b^{2} \geqslant 2$，当 $a \in \mathbf{z}, b=\pm 1$ 时等号成立．
（2）若方程的 $4$ 个根为 $2$ 对共轭虚根，则可设此 $4$ 个根为 $a \pm b i, a+2 b \pm b i$．这 $4$ 个根为方程 $(x-(a+b) )^{4}=-4 b^{4}$ 的 $4$ 个根．同上讨论可知，进而 $4 b^{4} \geqslant 1, b^{2} \geqslant \dfrac{1}{2}$．于是，正方形的面积为4 $b^{2} \geqslant 2 $．当 $b=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}, a+b \in \mathbf{Z}$ 时等号成立．
综上可知，这样的正方形的面积大于等于 $2$．又方程 $x^{4}=1$ 的 $4$ 个根为复平面上一个面积等于 $2$ 的正方形的 $4$ 个顶点，所以，这种正方形面积的最小值为 $2$．
答案
解析
备注
