某校羽毛球社团有 $n$ 名成员（$n\geqslant 3$），每个学期都需要打排名赛。排名赛采用单循环赛制，任意两名队员都需要单挑一场比赛分出胜负．如果在比赛中形成 $A$ 赢 $B$，$B$ 赢 $C$，$C$ 赢 $A$ 的情况，则称形成三人循环组．求一个学期排名赛中，三人循环组个数的最小值和最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
最小值为 $0$，比如成员间有严格的相对强弱关系，强者总是能战胜弱者．
接下来考虑最大值．三人组只有两种情况 $01,01,01$，$11,01,00$，其中 $1$ 代表胜利，$0$ 代表失败．
由题意，我们只需要数出 $11$ 和 $00$ 的总数，除以 $2$ 就是非三循环组的个数．
设这 $n$ 个成员的胜利场数分别为 $x_k$，则失败场次为 $n-1-x_k$
于是三人循环组个数为
$\begin{array}\displaystyle f\left(n\right)
&=C_n^3-\dfrac12\sum\limits_{k=1}^nC_{x_k}^2+C_{n-1-x_k}^2\\&=C_n^3-\dfrac14\sum\limits_{k=1}^n x_k\left(x_k-1\right)+\left(n-1-x_k\right)\left(n-2-x_k\right)
\\&=C_n^3-\dfrac14\sum\limits_{k=1}^n\left(2x_k^2-\left(2n-2\right)x_k+\left(n-1\right)\left(n-2\right)\right)
\end{array}$
若 $n$ 为奇数，则 $x_k=\dfrac{n-1}{2}$ 时，$f\left(n\right)=\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n+1\right)}{24}$ 最大．
若 $n$ 为偶数，则 $x_k=\dfrac{n-2}{2}$ 或 $x_k=\dfrac n2$ 时，$f\left(n\right)=\dfrac{n\left(n-2\right)\left(n+2\right)}{24}$ 最大．
接下来考虑最大值．三人组只有两种情况 $01,01,01$，$11,01,00$，其中 $1$ 代表胜利，$0$ 代表失败．
由题意，我们只需要数出 $11$ 和 $00$ 的总数，除以 $2$ 就是非三循环组的个数．
设这 $n$ 个成员的胜利场数分别为 $x_k$，则失败场次为 $n-1-x_k$
于是三人循环组个数为
$\begin{array}\displaystyle f\left(n\right)
&=C_n^3-\dfrac12\sum\limits_{k=1}^nC_{x_k}^2+C_{n-1-x_k}^2\\&=C_n^3-\dfrac14\sum\limits_{k=1}^n x_k\left(x_k-1\right)+\left(n-1-x_k\right)\left(n-2-x_k\right)
\\&=C_n^3-\dfrac14\sum\limits_{k=1}^n\left(2x_k^2-\left(2n-2\right)x_k+\left(n-1\right)\left(n-2\right)\right)
\end{array}$
若 $n$ 为奇数，则 $x_k=\dfrac{n-1}{2}$ 时，$f\left(n\right)=\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n+1\right)}{24}$ 最大．
若 $n$ 为偶数，则 $x_k=\dfrac{n-2}{2}$ 或 $x_k=\dfrac n2$ 时，$f\left(n\right)=\dfrac{n\left(n-2\right)\left(n+2\right)}{24}$ 最大．
答案
解析
备注
