设实数 $t\in[0,\pi]$，若关于 $x$ 的方程 $\cos(x+t)=1-\cos x$ 有解，求 $t$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2020年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题
【标注】
【答案】
解：原方程等价于 $\cos(x+\frac{t}{2})\cos\frac{t}{2}=\frac{1}{2}$，
当 $t=\pi$ 时，方程左边等于 $0$，显然无解；
当 $t\in [0,\pi)$ 时，方程进一步等价于 $\cos(x+\frac{1}{2})=\frac{1}{2\cos\frac{t}{2}}$，注意 $\cos(x+\frac{t}{2})\in [-1,1]$，且 $\cos\frac{t}{2}>0$，故方程有解当且仅当 $0<\frac{1}{2\cos\frac{t}{2}}\leqslant 1$，即 $\frac{1}{2}\leqslant \cos\frac{t}{2}\leqslant 1$，解得 $0\leqslant t\leqslant \frac{2\pi}{3}$．
综上，$t\in [0,\frac{2\pi}{3}]$
当 $t=\pi$ 时，方程左边等于 $0$，显然无解；
当 $t\in [0,\pi)$ 时，方程进一步等价于 $\cos(x+\frac{1}{2})=\frac{1}{2\cos\frac{t}{2}}$，注意 $\cos(x+\frac{t}{2})\in [-1,1]$，且 $\cos\frac{t}{2}>0$，故方程有解当且仅当 $0<\frac{1}{2\cos\frac{t}{2}}\leqslant 1$，即 $\frac{1}{2}\leqslant \cos\frac{t}{2}\leqslant 1$，解得 $0\leqslant t\leqslant \frac{2\pi}{3}$．
综上，$t\in [0,\frac{2\pi}{3}]$
【解析】
略
答案
解析
备注
