空间中 $8$ 个点，其中任意四点不共面，在这些点之间连接 $17$ 条线段．证明：在这 $17$ 条线段之中必存在 $3$ 条线段，其长度 $a,b,c$ 满足不等式 $\frac{a^2+b^2+c^2}{4}\geqslant \sqrt{3p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中 $p=\frac{a+b+c}{2}$．
【难度】
【出处】
2020年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
【标注】
【答案】
（1）这 $17$ 条线段之中必有 $3$ 条线段构成三角形．
（反证法）假设这 $17$ 条线段之中任意 $3$ 条不构成三角形．设点 $P$ 是这 $8$ 个点中连接线段最多的一个点，连接线段数为 $x$，则由 $7-x$ 个点为端点的线段数不超过 $x(7-x)$，故所连线段总数不超过 $x+x(7-x)$．而 $x+x(7-x)=-x^2+8x\leqslant 16<17$，这与题设矛盾，故 $17$ 条线段中必有 $3$ 条线段构成一个三角形．
（2）根据海涅公式，原不等式等价于 $a^2+b^2+c^2\geqslant 4\sqrt{3}S$，其中 $S$ 为该三角形的面积．
由于 $a^2+b^2+c^2\geqslant 4\sqrt{3}S$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2\sqrt{3}ab\sin C\geqslant 0$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+(a^2+b^2-2ab\cos C)-2\sqrt{3}ab\sin C\geqslant 0$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2-2ab\sin (C+\frac{\pi}{6}))\geqslant 0$
而 $a^2+b^2-2ab\sin(C+\frac{\pi}{6}\geqslant a^2+b^2-2ab\geqslant 0$，故上式成立．
因此，综上（1），（2），命题成立
（反证法）假设这 $17$ 条线段之中任意 $3$ 条不构成三角形．设点 $P$ 是这 $8$ 个点中连接线段最多的一个点，连接线段数为 $x$，则由 $7-x$ 个点为端点的线段数不超过 $x(7-x)$，故所连线段总数不超过 $x+x(7-x)$．而 $x+x(7-x)=-x^2+8x\leqslant 16<17$，这与题设矛盾，故 $17$ 条线段中必有 $3$ 条线段构成一个三角形．
（2）根据海涅公式，原不等式等价于 $a^2+b^2+c^2\geqslant 4\sqrt{3}S$，其中 $S$ 为该三角形的面积．
由于 $a^2+b^2+c^2\geqslant 4\sqrt{3}S$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2\sqrt{3}ab\sin C\geqslant 0$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+(a^2+b^2-2ab\cos C)-2\sqrt{3}ab\sin C\geqslant 0$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2-2ab\sin (C+\frac{\pi}{6}))\geqslant 0$
而 $a^2+b^2-2ab\sin(C+\frac{\pi}{6}\geqslant a^2+b^2-2ab\geqslant 0$，故上式成立．
因此，综上（1），（2），命题成立
【解析】
略
答案
解析
备注
