某校高二男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于 $3$ 次称为“优秀小组”．小明和小强同一小组，小明、小强投篮投进的概率分别为 $P_1, P_2$．
【难度】
【出处】
2020年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷
【标注】
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若 $P_1=\frac{3}{4}, P_2=\frac{2}{3}$，求在第一轮游戏中他们获得“优秀小组”的概率；标注答案$\frac{2}{3}$解析记在第一轮游戏中他们获得“优秀小组””为事件 $A$，则 $P(A)=(C^1_2\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4})(C^2_2\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3})+(C^2_2\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4})(C^1_2\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3})+(C^2_2\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4})(C^2_2\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3})=\frac{2}{3}$
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若 $P_1+P_2=\frac{4}{3}$，且游戏中小明、小强小组要获得“优秀小组”次数为 $16$ 次，则理论上上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时 $P_1, P_2$ 的值．标注答案见解析解析他们在第一轮游戏中获得“优秀小组”的概率为
$\begin{aligned}
P&=C^1_2P_1(1-P_1)C^2_2P^2_2+C^2_2P^2_1C^1_2P_2(1-P_2)+C^2_2P_1^2C^2_2P^2_2\\
&=2P_1P_2(P_1+P_2)-3P_1^2P_2^2\\
&=\frac{8}{3}P_1P_2-3P^2_1P^2_2\end{aligned}$．
因为 $0\leqslant P_1, P_2\leqslant 1$，所以 $\frac{1}{3}\leqslant P_1\leqslant 1, \frac{1}{3}\leqslant P_2\leqslant 1$，又 $P_1P_2\leqslant (\frac{P_1+P_2}{2})^2=\frac{4}{9}$．所以 $\frac{1}{9}\leqslant P_1P_2\leqslant \frac{4}{9}$．令 $t=P_1P_2$，则 $\frac{1}{9}\leqslant t \leqslant \frac{4}{9}$．故有 $P=h(t)=-3t^2+\frac{8}{3}t$．当 $t=\frac{4}{9}$ 时，$P_{max}=\frac{16}{27}$．他们小组在 $n$ 轮游戏中获得"优秀小组"的次数 $\xi :B(n,P)$，由 $(nP)_{max}=16$，则 $n=27$．所以，理论上至少要进行 $27$ 轮游戏，此时 $P_1+P_2=\frac{4}{3}, P_1P_2=\frac{4}{9}, P_1=P_2=\frac{2}{3}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
