已知 $f(x)=[x^2+(a-1)x+1]e^x$，若 $f(x)+e^2\geqslant 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2020年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛
【标注】
【答案】
见解析
【解析】
$f'(x)=(2x+a-1)e^x+[x^2+(a-1)x+1]e^x=(x+1)(x+a)e^x$．
设 $g(x)=x^2+(a-1)x+1$．
$ ① $ 当 $-1\leqslant a\leqslant 3$ 时，方程 $x^2+(a-1)x+1=0$ 的判别式 $\triangle =(a-1)^2\leqslant 0$．
此时 $g(x)\geqslant 0$ 恒成立，$f(x)+e^2=g(x)\cdot e^x+e^2\geqslant e^2>0$ 恒成立．
$ ② $ 当 $a>3$ 时，$x<-a$ 或 $x>-1$ 时，$f'(x)>0: -a<x<-1$ 时，$f'(x)<0$．$f(x)$ 在区间 $(-\infty, -a], [-1,+\infty)$ 上增函数；在 $[-a,-1]$ 上为减函数．
当 $x\leqslant -a$ 时，$g(x)=x^2+(a-1)x+1=x(x+a)+1-x>0, f(x)+c^2>0$ 成立．
当 $x>-a$ 时，$f(x)$ 的最小值为 $f(-1)=(3-a)e^{-1}$．
由 $f(x)+e^2\geqslant 0$ 恒成立知，$(3-a)e^{-1}+e^2\geqslant 0, a\leqslant e^3+3$．
因此，$3<a\leqslant e^3+3$．
$ ③ $ 当 $a<-1$ 时，$x<-1$ 或 $x>-a$ 时，$f'(x)>0; -1<x<-a$ 时，$f'(x)<0$．$f(x)$ 在区间 $(-\infty,-1], [-a,+\infty)$ 上为增函数：在 $[-1,-a]$ 上为减函数．
当 $ x\leqslant -1 $ 时，$ g(x)=x^2+(a-1)x+1>(a-1)x>0,f(x)+e^2>0 $ 成立．
当 $ x>-1 $ 时，$ f(x)$ 的最小值为 $ f(-a)$．
由 $ f(x)+e^2\geqslant 0 $ 恒成立知，$ f(-a)+e^2=(a+1)e^{-a}+e^2\geqslant 0 $．
设 $ h(x)=(x+1)e^{-x}+e^2 $，则 $ h'(x)=-xe^{-x},x<-1 $ 时，$ h'(x)>0 $．所以，$ h(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 上为增函数．
又 $ h(-2)=0 $，于是 $ h(x)\geqslant 0 $ 在 $(-\infty,-1)$ 上的解集为 $ [-2,-1)$．
因此，$ a<-1 $ 时，$ f(-a)+e^2=(a+1)^{-a}+e^2\geqslant 0 $，的解集为 $ [-2,-1)$．
综合 $ ① , ② , ③ $ 得 $ -2\leqslant a \leqslant e^3+3$．
所以，$a$ 的取值范围为 $[-2,e^3+3]$．
设 $g(x)=x^2+(a-1)x+1$．
$ ① $ 当 $-1\leqslant a\leqslant 3$ 时，方程 $x^2+(a-1)x+1=0$ 的判别式 $\triangle =(a-1)^2\leqslant 0$．
此时 $g(x)\geqslant 0$ 恒成立，$f(x)+e^2=g(x)\cdot e^x+e^2\geqslant e^2>0$ 恒成立．
$ ② $ 当 $a>3$ 时，$x<-a$ 或 $x>-1$ 时，$f'(x)>0: -a<x<-1$ 时，$f'(x)<0$．$f(x)$ 在区间 $(-\infty, -a], [-1,+\infty)$ 上增函数；在 $[-a,-1]$ 上为减函数．
当 $x\leqslant -a$ 时，$g(x)=x^2+(a-1)x+1=x(x+a)+1-x>0, f(x)+c^2>0$ 成立．
当 $x>-a$ 时，$f(x)$ 的最小值为 $f(-1)=(3-a)e^{-1}$．
由 $f(x)+e^2\geqslant 0$ 恒成立知，$(3-a)e^{-1}+e^2\geqslant 0, a\leqslant e^3+3$．
因此，$3<a\leqslant e^3+3$．
$ ③ $ 当 $a<-1$ 时，$x<-1$ 或 $x>-a$ 时，$f'(x)>0; -1<x<-a$ 时，$f'(x)<0$．$f(x)$ 在区间 $(-\infty,-1], [-a,+\infty)$ 上为增函数：在 $[-1,-a]$ 上为减函数．
当 $ x\leqslant -1 $ 时，$ g(x)=x^2+(a-1)x+1>(a-1)x>0,f(x)+e^2>0 $ 成立．
当 $ x>-1 $ 时，$ f(x)$ 的最小值为 $ f(-a)$．
由 $ f(x)+e^2\geqslant 0 $ 恒成立知，$ f(-a)+e^2=(a+1)e^{-a}+e^2\geqslant 0 $．
设 $ h(x)=(x+1)e^{-x}+e^2 $，则 $ h'(x)=-xe^{-x},x<-1 $ 时，$ h'(x)>0 $．所以，$ h(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 上为增函数．
又 $ h(-2)=0 $，于是 $ h(x)\geqslant 0 $ 在 $(-\infty,-1)$ 上的解集为 $ [-2,-1)$．
因此，$ a<-1 $ 时，$ f(-a)+e^2=(a+1)^{-a}+e^2\geqslant 0 $，的解集为 $ [-2,-1)$．
综合 $ ① , ② , ③ $ 得 $ -2\leqslant a \leqslant e^3+3$．
所以，$a$ 的取值范围为 $[-2,e^3+3]$．
答案
解析
备注
