• 数学竞赛

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  函数与方程

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  导数

略

依题意，当 $x\geqslant 0$ 时，$(x-1)e^x\geqslant mx^2-1$ 恒成立．
设 $k(x)=(x-1)e^x-mx^2+1$，则 $x\geqslant 0$ 时，$k(x)\geqslant 0$ 恒成立．$$k'(x)=e^x+(x-1)e^x-2mx=x(e^x-2m).$$若 $m\leqslant \frac{1}{2}$，则 $x>0$ 时，$k'(x)=x(e^x-2m)>0$，$k(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上为增函数．
于是，$x\geqslant 0$ 时，$k(x)\geqslant k(0) =0$．因此，$m\leqslant \frac{1}{2}$ 符合要求．
若 $m>\frac{1}{2}$，则 $2m>1, 0<x<\ln (2m)$ 时，$k'(x)<0$，$k(x)$ 在 $[0,\ln (2m)]$ 上为减函数．
于是，$k(\ln (2m))<k(0)=0$．因此，$m>\frac{1}{2}$ 不符合要求．
所以 $m$ 的取值范围为 $(-\infty ,\frac{1}{2}]$．

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  函数与方程

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  导数

略

解法一：设 $g(x)=e^x-4x$，则 $g'(x)=e^x-4$．
当 $x<\ln 4$ 时，$g'(x)<0$；当 $x>\ln 4$ 时，$g'(x)>0$．
所以 $g(x)$ 在 $(-\infty, \ln 4]$ 上为减函数，在 $[\ln 4, +\infty)$ 上为增函数．
所以 $ g(x)\geqslant g(\ln 4)=4-4\ln 4 $．
由此可得，$ g(x)=e^x-4x\geqslant 4-4\ln 4 $，即$$ e^x\geqslant 4x+4-8\ln 2.$$当且仅当 $ x=\ln 4 $ 时等号成立．
所以 $ x>0 $ 时，$$ f(x)=-4\ln x-8+8\ln 2\geqslant(4x+4-8\ln 2)-4\ln x -8+8\ln 2=4x-4\ln x-4.$$当且仅当 $ x=\ln 4 $ 时等号成立．
设 $ h(x)=4x-4\ln x-4 $，则 $ h'(x)=4-\frac{4}{x} $．
当 $ 0<x<1 $ 时，$ h'(x)<0 $；当 $ x>1 $ 时，$ h'(x)>0 $．
所以 $ h(x)$ 在 $(0,1]$ 上为减函数，在 $ [1,+\infty)$ 上为增函数．
所以 $ h(x)\geqslant h(1)=0 $．即$$ h(x)=4x-4\ln x-4\geqslant 0.$$当且仅当 $ x=1 $ 时等号成立，故$$f(x)-4\ln x-8 +8\ln 2\geqslant 4x -4\ln x-4\geqslant 0$$由于上述两个等号不同时成立，因此$$ f(x)-4\ln x-8+8\ln 2>0.$$所以当 $ x>0 $ 时，$ f(x)>4\ln x+8-8\ln 2 $．
解法二：设 $ g(x)=f(x)-(4\ln x+8-8\ln 2)=e^x-4\ln x-8+8\ln 2 $．则 $ g'(x)=e^x-\frac{4}{x} $．
由 $ g"(x)=e^x+\frac{4}{x^2}>0 $，知 $ g'(x)$ 为增函数．
又 $g'(1)=e-4<0, g'(2)=e^2-2>0$，因此，$g'(x)$ 有唯一零点，设为 $ x_0 $
则 $ x_0\in(1,2)$，且 $ 0<x<x_0 $ 时，$ g'(x)<0 $；$ x>x_0 $ 时，$ g'(x)>0 $．
所以 $ g(x)$ 在区间 $(0,x_0] $ 上为减函数，在区间 $ [x_0,+\infty)$ 上为增函数．
所以 $ g(x)$ 有最小值 $ g(x_0)=e^x-4\ln x_0-8+8\ln 2 $．
又由 $ g'(x_0)=e^{x_0}-\frac{4}{x_0}=0 $，知 $ e^{x_0}=\frac
{4}{x_0},x_0e^{x_0}=4 $，两边取对数，得$$ \ln x_0+x_0=\ln 4.$$所以$$ g(x_0)=\frac{4}{x_0}-4(\ln 4-x_0)-8+8\ln 2
=4(\frac{1}{x_0}+x_0)-8>0(x_0\in(1,2)).$$所以当 $ x>0 $ 时，$ g(x)\geqslant g(x_0)>0 $，故当 $ x>0 $ 时，$$ f(x)>4\ln x+8-8\ln 2.$$