关于原点对称的函数是奇函数，正弦型函数 $y=A\sin \left(\omega x+\varphi\right)$ 中的 $\omega$ 决定周期，$\varphi$ 决定奇偶性．函数 $y=\cos \left(2x+\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)=-\sin 2x$最小正周期为 $T=\dfrac {2{\mathrm \pi} }{2}={\mathrm \pi} $，且为奇函数，其图象关于原点对称，故 $\mathrm A$ 正确；函数 $y=\sin \left(2x+\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)$ 最小正周期为 $T=\dfrac {2{\mathrm \pi} }{2}={\mathrm \pi} $，且为偶函数，其图象关于 $y$ 轴对称，不关于原点对称，故 $\mathrm B$ 不正确；函数 $y=\sin {2x}+\cos {2x}=\sqrt 2 \sin \left(2x+\dfrac {\mathrm \pi} {4}\right)$与 $y=\sin { x}+\cos { x}=\sqrt 2 \sin \left( x+\dfrac {\mathrm \pi} {4}\right)$不是奇函数，图象不关于原点对称，故 $\mathrm C$、$\mathrm D$ 不正确．