某公司有 $n$ 名员工，已知这 $n$ 名员工中的每两个人均能保证在每周至少有三天是其中一位工作而另一位不工作（这几天工作的不一定是同一位员工，并且员工可以一周都不上班）．求 $n$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
$n$ 的最大值为 $16$．为证明 $n\leqslant 16$，用七元数组 $(a_1,a_2,\ldots,a_7)$（$a_i=0\text{或}1; i=1,2,\ldots ,7$）表示一名员工在这七天的出勤情况，其中，$a_i$ 表示这名员工在第 $i$ 天的出勤情况；若第 $i$ 天这名员工上班了，则 $a_i=1$；否则，$a_i=0$．此外，若两个七元数组恰有一项的值不同，则称这两个七元数组“相邻”．设 $v_1, v_2, \ldots ,v_n$ 表示这 $n$ 名员工所对应的七元数组．根据题目条件，对于其中任何两个数组 $v_i,v_j$（$i\neq j$），均有至少三项的值不同，于是，若考虑 $v_i$ 的相邻数组和 $v_j$ 的相邻数组，它们至少应该有 $3-1-1=1$ 项上的值不同，这表明，$v_i$ 的相邻数组和 $v_j$ 的相邻数组也必不相同．考虑 $v_1,v_2, \ldots ,v_n$ 及他们相邻的七元数组，共有至少 $n+7n=8n$ 个互不相同的七元数组．又七元数组共有 $2^7=128$ 个，于是，$8n\leqslant 128\Rightarrow n\leqslant 16$．对于 $n=16$，给出一个例子：$$\begin{aligned}&v_1=(0,0,0,0,0,0,0),v_2=(1,1,1,0,0,0,0),\\&v_3=(1,0,0,1,1,0,0),v_4=(1,0,0,0,0,1,1),\\&v_5=(0,1,0,1,0,0,1),v_6=(0,1,0,0,1,1,0),\\&v_7=(0,0,1,1,0,1,0),v_8=(0,0,1,0,1,0,1),\\&v_9=(1,1,1,1,1,1,1),v_{10}=(0,0,0,1,1,1,1),\\&v_{11}=(0,1,1,0,0,1,1), v_{12}=(0,1,1,1,1,0,0),\\&v_{13}=(1,0,1,0,1,1,0), v_{14}=(1,0,1,1,0,0,1),\\&v_{15}=(1,1,0,0,1,0,1), v_{16}=(1,1,0,1,0,1,0)\\\end{aligned}$$为说明这个例子满足要求，用 $d(v_i,v_j)$（$1\leqslant i<j\leqslant 16$）表示七元数组 $v_i,v_j$ 中不同项的个数，可验证：（i）对于 $2\leqslant j\leqslant 8$，有 $d(v_1,v_j)=3$；对于 $10\leqslant j\leqslant 16$，有 $d(v_1,v_j)=4$；$d(v_1,v_9)=7$．（2）对于 $2\leqslant i\leqslant 8$，当 $i<j\leqslant 9$ 时，有 $d(v_i,v_j)=4$；当 $10\leqslant j\leqslant 16$ 且 $j\neq i+8$ 时，有 $d(v_i,v_j)=3$；当 $j=i+8$ 时，有 $d(v_i,v_j)=7$．（iii）对于 $10\leqslant j\leqslant 16$，有 $d(v_9, v_j)=3$；对于 $10\leqslant i<j\leqslant 16$，有 $d(v_i,v_j)=4$．故所给例子符合要求，$n$ 的最大值为 $16$．
答案
解析
备注
