已知函数 $f(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2-ax$ 有三个零点 $0,x_1,x_2$（$x_1<x_2$），且对任意的 $x\in[x_1,x_2]$，都有 $f(x)>f(1)$，试求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(9)
【标注】
【答案】
略
【解析】
易知 $f(x)=\frac{1}{3}x(x^2-3x+3a)$．设 $g(x)=x^2-3x+3a$，则当其判别式 $\triangle=9-12a>0$ 时，函 $f(x)$ 有 $3$ 个零点，解得 $a<\frac{3}{4}$．
注意到 $f(x)=-\frac{1}{3}((x-1)^3+3(a-1)(x-1)+3a-2)$，则函数 $f(x)$ 关于 $(1,f(1))$ 对称，于是不等式 $f(x)>f(1)$ 的解集为 $(-\infty,2-m)\cup (1,m)$，其中 $m>1$，且 $f(m)=f(1)$．根据题意，区间 $[x_1,x_2]$ 是其子集，因此 $1<x_1<x_2$，进而 $f(1)<0$ 即可，即 $g(1)>0$，得到 $3a-2>0$，解得 $a>\frac{2}{3}$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\frac{2}{3},\frac{3}{4}\right)$．
注意到 $f(x)=-\frac{1}{3}((x-1)^3+3(a-1)(x-1)+3a-2)$，则函数 $f(x)$ 关于 $(1,f(1))$ 对称，于是不等式 $f(x)>f(1)$ 的解集为 $(-\infty,2-m)\cup (1,m)$，其中 $m>1$，且 $f(m)=f(1)$．根据题意，区间 $[x_1,x_2]$ 是其子集，因此 $1<x_1<x_2$，进而 $f(1)<0$ 即可，即 $g(1)>0$，得到 $3a-2>0$，解得 $a>\frac{2}{3}$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\frac{2}{3},\frac{3}{4}\right)$．
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解析
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