本题中选 $ \overrightarrow {AB} $，$ \overrightarrow {AD} $ 为基底，正确表示 $\overrightarrow {AM}$ 和 $\overrightarrow {NM}$ 是关键．采用平面向量基底化是解题的关键．因为四边形 $ABCD$ 为平行四边形，所以 $\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AD} $，$\overrightarrow{DC} =\overrightarrow{AB} $．又因为 $\overrightarrow {BM}=3\overrightarrow {MC}$，$\overrightarrow {DN}=2\overrightarrow {NC}$，所以\[\overrightarrow {BM}\overset {\left[a\right]}=\dfrac 34 \overrightarrow {BC}=\dfrac 34 \overrightarrow {AD} ,\\ \overrightarrow {CM}\overset {\left[a\right]}=-\dfrac 14 \overrightarrow {BC}=-\dfrac 14 \overrightarrow {AD} ,\\ \overrightarrow {NC}\overset {\left[a\right]}=\dfrac 13 \overrightarrow {DC}=\dfrac 13 \overrightarrow {AB}.\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）所以\[\overrightarrow {AM}\overset {\left[b\right]}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BM}\overset {\left[ c\right]}=\overrightarrow {AB}+\dfrac 34 \overrightarrow {AD},\\ \overrightarrow {NM}\overset {\left[b\right]}=\overrightarrow {NC}+\overrightarrow {CM}\overset {\left[ c\right]}=\dfrac 13\overrightarrow {AB}-\dfrac 14\overrightarrow {AD}.\]（推导中用到 $\left[b\right]$，$\left[c\right] $．）所以\[\begin{split}\overrightarrow {AM}\cdot\overrightarrow {NM}& =\left(\overrightarrow {AB}+\dfrac 34 \overrightarrow {AD}\right)\cdot \left(\dfrac 13\overrightarrow {AB}-\dfrac 14\overrightarrow {AD}\right) \\ &\overset {\left[d\right]}=\dfrac 13 \left|\overrightarrow {AB} \right|^2-\dfrac 14\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {AD}+\dfrac 14\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {AD} -\dfrac {3}{16} \left|\overrightarrow {AD} \right|^2 \\&= 9.\end{split}\]（推导中用到 $\left[d\right]$．）