已知复数 $z$ 满足 $|z+1|>2$，证明：$|z^3+1|>1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 $z^3+1=(z+1)(z^2-z+1)$，只需证明 $|z^2-z+1|\geqslant\frac{1}{2}$．
设 $z+1=re^{i\phi}$，其中 $r=|z+1|>2,\phi=argz$ 是实数，则
$z^2-z+1=r^2e^{2i\phi}-3re^{i\phi}+3$．从而
$|z^2-z+1|^2=(r^2e^{2i\phi}-3re^{i\phi}+3)(r^2e^{-2i\phi}-3re^{-i\phi}+3)=r^4+9r^2+9-(6r^3+18r)cos\phi+6r^2cos{2\phi}=12(rcos\phi-\frac{r^2+3}{4})^2+\frac{1}{4}(r^2-3)^2>0+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}
$
故结论成立。
设 $z+1=re^{i\phi}$，其中 $r=|z+1|>2,\phi=argz$ 是实数，则
$z^2-z+1=r^2e^{2i\phi}-3re^{i\phi}+3$．从而
$|z^2-z+1|^2=(r^2e^{2i\phi}-3re^{i\phi}+3)(r^2e^{-2i\phi}-3re^{-i\phi}+3)=r^4+9r^2+9-(6r^3+18r)cos\phi+6r^2cos{2\phi}=12(rcos\phi-\frac{r^2+3}{4})^2+\frac{1}{4}(r^2-3)^2>0+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}
$
故结论成立。
答案
解析
备注
