要先定型即确定函数类型，分 $m=2$ 和 $m\neq 2$ 两类考虑，然后对于 $m\neq 2$ 时的情况需要定向，分抛物线开口向上（$m>2$）和向下（$0\leqslant m<2$）两种情况考虑，最后在 $m>2$ 时利用均值不等式求最值，而在 $0\leqslant m<2$ 时需研究给定区间上的二次函数来求最值．当 $ m=2$ 时，\[ f\left(x\right)=\left(n-8\right)x+1 ,\]若函数在区间 $\left[\dfrac12,2\right]$ 上单调递减，则 $ n-8<0 $，即 $ 0\leqslant n<8 $，得 $ 0\leqslant mn<16 $；
当 $ m>2$ 时，函数图象为开口向上的抛物线，若函数在区间 $\left[\dfrac12,2\right]$ 上单调递减，则对称轴 $\dfrac{n-8}{2-m}\geqslant 2 $，即 $2m+n\leqslant 12 $，所以\[\begin{split}mn&=\dfrac 12 \left(2mn\right)\\ & \overset {\left[a\right]}\leqslant \dfrac 12 \left(\dfrac {2m+n}{2}\right)^2\leqslant 18, \end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）当且仅当 $ 2m=n=6 $，即 $ m=3 $，$ n=6 $ 时，$ mn $ 取得最大值 $ 18 $；
当 $ 0\leqslant m<2 $ 时，函数图象为开口向下的抛物线，若函数在区间 $\left[\dfrac12,2\right]$ 上单调递减，则对称轴 $\dfrac{n-8}{2-m}\leqslant \dfrac 12 $，即 $2n+m\leqslant 18 $，所以 $ 0\leqslant n\leqslant 9-\dfrac 12 m$．又因为 $ 0\leqslant m<2 $，所以\[\begin{split} mn&\overset {\left[b\right]}\leqslant 9m-\dfrac 12 m^2\\ &=-\dfrac 12 \left(m-9\right)^2+\dfrac{81}{2}\\&<-\dfrac 12\left(2-9\right)^2 +\dfrac{81}{2}\\& =16.\end{split}\]（推导中用到 $\left[b\right]$．）综上，$ mn $ 的最大值为 $ 18 $．