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在平行四边形 $ABCD$ 中，$M,N$ 分别为边 $BC,CD$ 的中点，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{AN}=\overrightarrow{b}$，用 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 表示 $\overrightarrow{AC}$．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(20)
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的线性运算
【答案】
略
【解析】
$\frac{2}{3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$．
设 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{x}, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{y}$，结合已知条件，得$$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{y}, \overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{x}.$$所以$$\left\{\begin{aligned}
&\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{x}+\frac{1}{2}\overrightarrow{y},\\
&\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{y}+\frac{1}{2}\overrightarrow{x}.\\
\end{aligned}\right.$$解得$$\overrightarrow{x}=\frac{4}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}, \overrightarrow{y}=\frac{4}{3}\overrightarrow{b}-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}.$$故$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}).$$
答案 解析 备注
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