设正数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，且当 $n\geqslant 2$ 时，有 $a_n+a_{n-1}=\frac{n}{a_n-a_{n-1}}+2$．求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n$．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(5)
【标注】
【答案】
$\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}+1$
【解析】
由 $a_n+a_{n-1}=\frac{n}{a_n-a_{n-1}}+2$，知$$a_n^2-a_{n-1}^2=2(a_n-a_{n-1})+n\Rightarrow (a_n-1)^2-(a_{n-1}-1)^2=n.$$故$$\begin{aligned}
(a_n-1)^2&=\sum^n_{k=2}((a_k-1)^2-(a_{k-1}-1)^2)+(a_1-1)^2\\
&=\sum^n_{k=2}k+(a_1-1)^2=\sum^n_{k=1}k=\frac{n(n+1)}{2}.\\
\end{aligned}$$从而，$$a_n=\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}+1.$$
(a_n-1)^2&=\sum^n_{k=2}((a_k-1)^2-(a_{k-1}-1)^2)+(a_1-1)^2\\
&=\sum^n_{k=2}k+(a_1-1)^2=\sum^n_{k=1}k=\frac{n(n+1)}{2}.\\
\end{aligned}$$从而，$$a_n=\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}+1.$$
答案
解析
备注
