题目 已知幂函数 $f(x)=x^{m^2-2m-3} (m\in \mathbb{Z})$ 在 $(0,+\infty)$ 是单调减函数，且为偶函数． 问题1 求 $f(x)$ 的解析式； 答案1 由幂函数 $f(x)=x^{m^2-2m-3} (m\in \mathbb{Z})$ $(0,+\infty)$ 是单调减函数，得：$m^2-2m-3<0$ 得 $-1<m<3$，又 $m\in \mathbb{Z}$，所以 $m=0$ 或 $1$ 或 $2$，$m=0$ 时 $f(x)=x^{-3}$；$m=1$ 时 $f(x)=x^{-4}$；$m=2$ 时 $f(x)=x^{-3}$；又函数 $f(x)$ 是偶函数，所以 $f(x)=x^{-4}$ 解析1 略 备注1 问题2 讨论 $F(x)=af(x)+(a-2)x^5\cdot f(x)$ 的奇偶性，并说明理由． 答案2 $F(x)=ax^{-4}+(a-2)x$ 当 $a=0$ 时，$F(x)=-2x$，$F(-x)=-F(x)$，所以函数是奇函数；当 $a=2$ 时，$F(x)=\dfrac{2}{x^4}$，$F(-x)=F(x)$，所以函数是偶函数；当 $a\neq0$ 且 $a\neq2$ 时，$F(1)=2a-2$，$F(-1)=2$，$F(1)\neq\pm F(-1)$，所以函数对 $\forall x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，$F(-x)=F(x)$ 不成立，$F(-x)=-F(x)$ 也不成立，所以函数 $F(x)$ 是非奇非偶函数 解析2 略 备注2